Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14916 / 8940
↖ ↑ ↗
← N 63.015106°
W 16.127929°		 ← 554.30 m → N 63.015106°
W 16.116944°		 →
↑
554.34 m
↓
↑
554.34 m
↓
N 63.010120°
W 16.127929°		 ← 554.39 m →
307 295 m²		 N 63.010120°
W 16.116944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455215454101562 y=0.272842407226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455215454101562 × 215)
    floor (0.455215454101562 × 32768)
    floor (14916.5)     		tx = 14916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272842407226562 × 215)
    floor (0.272842407226562 × 32768)
    floor (8940.5)     		ty = 8940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14916 / 8940 ti = "15/14916/8940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14916/8940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14916 ÷ 215
    14916 ÷ 32768     		x = 0.4552001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8940 ÷ 215
    8940 ÷ 32768     		y = 0.2728271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4552001953125 × 2 - 1) × π
    -0.089599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28148547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2728271484375 × 2 - 1) × π
    0.454345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42736912308679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28148547} λ = -0.28148547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42736912308679))-π/2
    2×atan(4.16771999747929)-π/2
    2×1.33530869985215-π/2
    2.67061739970431-1.57079632675     		φ = 1.09982107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28148547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.127929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09982107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.015106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14916 KachelY 8940 -0.28148547 1.09982107 -16.127929 63.015106
    Oben rechts KachelX + 1 14917 KachelY 8940 -0.28129373 1.09982107 -16.116944 63.015106
    Unten links KachelX 14916 KachelY + 1 8941 -0.28148547 1.09973406 -16.127929 63.010120
    Unten rechts KachelX + 1 14917 KachelY + 1 8941 -0.28129373 1.09973406 -16.116944 63.010120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09982107-1.09973406) × R
    8.70099999998875e-05 × 6371000     		dl = 554.340709999283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09982107-1.09973406) × R
    8.70099999998875e-05 × 6371000     		dr = 554.340709999283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28148547--0.28129373) × cos(1.09982107) × R
    0.000191739999999996 × 0.453755577896508 × 6371000     		do = 554.296715096927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28148547--0.28129373) × cos(1.09973406) × R
    0.000191739999999996 × 0.453833113068033 × 6371000     		du = 554.391430165952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09982107)-sin(1.09973406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453755577896508-0.453833113068033)×R²
    abs(-0.28129373--0.28148547)×7.75351715253669e-05×R²
    0.000191739999999996×7.75351715253669e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.75351715253669e-05×40589641000000     		ar = 307295.487000673m²