Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14915 / 14662
↖ ↑ ↗
← S 80.437633°
E147.722168°		 ← 405.87 m → S 80.437633°
E147.744140°		 →
↑
405.77 m
↓
↑
405.77 m
↓
S 80.441282°
E147.722168°		 ← 405.72 m →
164 658 m²		 S 80.441282°
E147.744140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910369873046875 y=0.894927978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910369873046875 × 214)
    floor (0.910369873046875 × 16384)
    floor (14915.5)     		tx = 14915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894927978515625 × 214)
    floor (0.894927978515625 × 16384)
    floor (14662.5)     		ty = 14662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14915 / 14662 ti = "14/14915/14662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14915/14662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14915 ÷ 214
    14915 ÷ 16384     		x = 0.91033935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14662 ÷ 214
    14662 ÷ 16384     		y = 0.8948974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91033935546875 × 2 - 1) × π
    0.8206787109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57823821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8948974609375 × 2 - 1) × π
    -0.789794921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.48121392433411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57823821} λ = 2.57823821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48121392433411))-π/2
    2×atan(0.0836416293303964)-π/2
    2×0.0834473938851843-π/2
    0.166894787770369-1.57079632675     		φ = -1.40390154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57823821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.722168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40390154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.437633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14915 KachelY 14662 2.57823821 -1.40390154 147.722168 -80.437633
    Oben rechts KachelX + 1 14916 KachelY 14662 2.57862170 -1.40390154 147.744140 -80.437633
    Unten links KachelX 14915 KachelY + 1 14663 2.57823821 -1.40396523 147.722168 -80.441282
    Unten rechts KachelX + 1 14916 KachelY + 1 14663 2.57862170 -1.40396523 147.744140 -80.441282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40390154--1.40396523) × R
    6.36900000001717e-05 × 6371000     		dl = 405.768990001094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40390154--1.40396523) × R
    6.36900000001717e-05 × 6371000     		dr = 405.768990001094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57823821-2.57862170) × cos(-1.40390154) × R
    0.000383489999999931 × 0.166121087495384 × 6371000     		do = 405.869497899533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57823821-2.57862170) × cos(-1.40396523) × R
    0.000383489999999931 × 0.166058282108014 × 6371000     		du = 405.71605084822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40390154)-sin(-1.40396523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166121087495384-0.166058282108014)×R²
    abs(2.57862170-2.57823821)×6.28053873697743e-05×R²
    0.000383489999999931×6.28053873697743e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.28053873697743e-05×40589641000000     		ar = 164658.124263626m²