Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14915 / 14659
↖ ↑ ↗
← S 80.426676°
E147.722168°		 ← 406.33 m → S 80.426676°
E147.744140°		 →
↑
406.28 m
↓
↑
406.28 m
↓
S 80.430330°
E147.722168°		 ← 406.18 m →
165 052 m²		 S 80.430330°
E147.744140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910369873046875 y=0.894744873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910369873046875 × 214)
    floor (0.910369873046875 × 16384)
    floor (14915.5)     		tx = 14915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894744873046875 × 214)
    floor (0.894744873046875 × 16384)
    floor (14659.5)     		ty = 14659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14915 / 14659 ti = "14/14915/14659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14915/14659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14915 ÷ 214
    14915 ÷ 16384     		x = 0.91033935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14659 ÷ 214
    14659 ÷ 16384     		y = 0.89471435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91033935546875 × 2 - 1) × π
    0.8206787109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57823821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89471435546875 × 2 - 1) × π
    -0.7894287109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.48006343874323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57823821} λ = 2.57823821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48006343874323))-π/2
    2×atan(0.0837379131957184)-π/2
    2×0.0835430080707998-π/2
    0.1670860161416-1.57079632675     		φ = -1.40371031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57823821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.722168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40371031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.426676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14915 KachelY 14659 2.57823821 -1.40371031 147.722168 -80.426676
    Oben rechts KachelX + 1 14916 KachelY 14659 2.57862170 -1.40371031 147.744140 -80.426676
    Unten links KachelX 14915 KachelY + 1 14660 2.57823821 -1.40377408 147.722168 -80.430330
    Unten rechts KachelX + 1 14916 KachelY + 1 14660 2.57862170 -1.40377408 147.744140 -80.430330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40371031--1.40377408) × R
    6.37700000001296e-05 × 6371000     		dl = 406.278670000825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40371031--1.40377408) × R
    6.37700000001296e-05 × 6371000     		dr = 406.278670000825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57823821-2.57862170) × cos(-1.40371031) × R
    0.000383489999999931 × 0.166309657385111 × 6371000     		do = 406.330214643062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57823821-2.57862170) × cos(-1.40377408) × R
    0.000383489999999931 × 0.166246775135035 × 6371000     		du = 406.176579799647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40371031)-sin(-1.40377408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166309657385111-0.166246775135035)×R²
    abs(2.57862170-2.57823821)×6.28822500761128e-05×R²
    0.000383489999999931×6.28822500761128e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.28822500761128e-05×40589641000000     		ar = 165052.089961253m²