Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14914 / 14658
↖ ↑ ↗
← S 80.423022°
E147.700195°		 ← 406.49 m → S 80.423022°
E147.722168°		 →
↑
406.41 m
↓
↑
406.41 m
↓
S 80.426676°
E147.700195°		 ← 406.34 m →
165 171 m²		 S 80.426676°
E147.722168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910308837890625 y=0.894683837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910308837890625 × 214)
    floor (0.910308837890625 × 16384)
    floor (14914.5)     		tx = 14914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894683837890625 × 214)
    floor (0.894683837890625 × 16384)
    floor (14658.5)     		ty = 14658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14914 / 14658 ti = "14/14914/14658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14914/14658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14914 ÷ 214
    14914 ÷ 16384     		x = 0.9102783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14658 ÷ 214
    14658 ÷ 16384     		y = 0.8946533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9102783203125 × 2 - 1) × π
    0.820556640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57785471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8946533203125 × 2 - 1) × π
    -0.789306640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.47967994354626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57785471} λ = 2.57785471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47967994354626))-π/2
    2×atan(0.0837700324416271)-π/2
    2×0.0835749035783968-π/2
    0.167149807156794-1.57079632675     		φ = -1.40364652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57785471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.700195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40364652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.423022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14914 KachelY 14658 2.57785471 -1.40364652 147.700195 -80.423022
    Oben rechts KachelX + 1 14915 KachelY 14658 2.57823821 -1.40364652 147.722168 -80.423022
    Unten links KachelX 14914 KachelY + 1 14659 2.57785471 -1.40371031 147.700195 -80.426676
    Unten rechts KachelX + 1 14915 KachelY + 1 14659 2.57823821 -1.40371031 147.722168 -80.426676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40364652--1.40371031) × R
    6.3790000000008e-05 × 6371000     		dl = 406.406090000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40364652--1.40371031) × R
    6.3790000000008e-05 × 6371000     		dr = 406.406090000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57785471-2.57823821) × cos(-1.40364652) × R
    0.00038349999999987 × 0.166372558680129 × 6371000     		do = 406.49449561301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57785471-2.57823821) × cos(-1.40371031) × R
    0.00038349999999987 × 0.166309657385111 × 6371000     		du = 406.340810231269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40364652)-sin(-1.40371031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166372558680129-0.166309657385111)×R²
    abs(2.57823821-2.57785471)×6.29012950183472e-05×R²
    0.00038349999999987×6.29012950183472e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.29012950183472e-05×40589641000000     		ar = 165170.609287117m²