Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14913 / 8896
↖ ↑ ↗
← N 63.233628°
W 16.160889°		 ← 550.17 m → N 63.233628°
W 16.149902°		 →
↑
550.26 m
↓
↑
550.26 m
↓
N 63.228679°
W 16.160889°		 ← 550.26 m →
302 764 m²		 N 63.228679°
W 16.149902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455123901367188 y=0.271499633789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455123901367188 × 215)
    floor (0.455123901367188 × 32768)
    floor (14913.5)     		tx = 14913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271499633789062 × 215)
    floor (0.271499633789062 × 32768)
    floor (8896.5)     		ty = 8896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14913 / 8896 ti = "15/14913/8896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14913/8896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14913 ÷ 215
    14913 ÷ 32768     		x = 0.455108642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8896 ÷ 215
    8896 ÷ 32768     		y = 0.271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455108642578125 × 2 - 1) × π
    -0.08978271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28206072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271484375 × 2 - 1) × π
    0.45703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43580601741992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28206072} λ = -0.28206072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43580601741992))-π/2
    2×atan(4.20303136036834)-π/2
    2×1.33721566155042-π/2
    2.67443132310084-1.57079632675     		φ = 1.10363500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28206072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.160889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10363500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.233628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14913 KachelY 8896 -0.28206072 1.10363500 -16.160889 63.233628
    Oben rechts KachelX + 1 14914 KachelY 8896 -0.28186897 1.10363500 -16.149902 63.233628
    Unten links KachelX 14913 KachelY + 1 8897 -0.28206072 1.10354863 -16.160889 63.228679
    Unten rechts KachelX + 1 14914 KachelY + 1 8897 -0.28186897 1.10354863 -16.149902 63.228679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10363500-1.10354863) × R
    8.63700000000023e-05 × 6371000     		dl = 550.263270000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10363500-1.10354863) × R
    8.63700000000023e-05 × 6371000     		dr = 550.263270000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28206072--0.28186897) × cos(1.10363500) × R
    0.000191749999999991 × 0.450353593075369 × 6371000     		do = 550.169625679372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28206072--0.28186897) × cos(1.10354863) × R
    0.000191749999999991 × 0.450430706875093 × 6371000     		du = 550.263830923831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10363500)-sin(1.10354863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450353593075369-0.450430706875093)×R²
    abs(-0.28186897--0.28206072)×7.71137997239157e-05×R²
    0.000191749999999991×7.71137997239157e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.71137997239157e-05×40589641000000     		ar = 302764.056312013m²