Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14913 / 14641
↖ ↑ ↗
← S 80.360675°
E147.678223°		 ← 409.11 m → S 80.360675°
E147.700195°		 →
↑
409.08 m
↓
↑
409.08 m
↓
S 80.364354°
E147.678223°		 ← 408.95 m →
167 326 m²		 S 80.364354°
E147.700195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910247802734375 y=0.893646240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910247802734375 × 214)
    floor (0.910247802734375 × 16384)
    floor (14913.5)     		tx = 14913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893646240234375 × 214)
    floor (0.893646240234375 × 16384)
    floor (14641.5)     		ty = 14641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14913 / 14641 ti = "14/14913/14641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14913/14641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14913 ÷ 214
    14913 ÷ 16384     		x = 0.91021728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14641 ÷ 214
    14641 ÷ 16384     		y = 0.89361572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91021728515625 × 2 - 1) × π
    0.8204345703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57747122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89361572265625 × 2 - 1) × π
    -0.7872314453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.47316052519794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57747122} λ = 2.57747122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47316052519794))-π/2
    2×atan(0.084317948434292)-π/2
    2×0.0841189765569293-π/2
    0.168237953113859-1.57079632675     		φ = -1.40255837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57747122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.678223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40255837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.360675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14913 KachelY 14641 2.57747122 -1.40255837 147.678223 -80.360675
    Oben rechts KachelX + 1 14914 KachelY 14641 2.57785471 -1.40255837 147.700195 -80.360675
    Unten links KachelX 14913 KachelY + 1 14642 2.57747122 -1.40262258 147.678223 -80.364354
    Unten rechts KachelX + 1 14914 KachelY + 1 14642 2.57785471 -1.40262258 147.700195 -80.364354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40255837--1.40262258) × R
    6.421000000012e-05 × 6371000     		dl = 409.081910000765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40255837--1.40262258) × R
    6.421000000012e-05 × 6371000     		dr = 409.081910000765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57747122-2.57785471) × cos(-1.40255837) × R
    0.000383489999999931 × 0.167445444385769 × 6371000     		do = 409.10518624136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57747122-2.57785471) × cos(-1.40262258) × R
    0.000383489999999931 × 0.167382140599574 × 6371000     		du = 408.950521494665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40255837)-sin(-1.40262258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167445444385769-0.167382140599574)×R²
    abs(2.57785471-2.57747122)×6.33037861951791e-05×R²
    0.000383489999999931×6.33037861951791e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.33037861951791e-05×40589641000000     		ar = 167325.895761318m²