Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14912 / 8895
↖ ↑ ↗
← N 63.238575°
W 16.171875°		 ← 550.05 m → N 63.238575°
W 16.160889°		 →
↑
550.07 m
↓
↑
550.07 m
↓
N 63.233628°
W 16.171875°		 ← 550.14 m →
302 591 m²		 N 63.233628°
W 16.160889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455093383789062 y=0.271469116210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455093383789062 × 215)
    floor (0.455093383789062 × 32768)
    floor (14912.5)     		tx = 14912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271469116210938 × 215)
    floor (0.271469116210938 × 32768)
    floor (8895.5)     		ty = 8895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14912 / 8895 ti = "15/14912/8895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14912/8895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14912 ÷ 215
    14912 ÷ 32768     		x = 0.455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8895 ÷ 215
    8895 ÷ 32768     		y = 0.271453857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455078125 × 2 - 1) × π
    -0.08984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28225246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271453857421875 × 2 - 1) × π
    0.45709228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4359977650184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28225246} λ = -0.28225246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4359977650184))-π/2
    2×atan(4.20383735880969)-π/2
    2×1.33725883496486-π/2
    2.67451766992972-1.57079632675     		φ = 1.10372134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28225246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10372134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.238575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14912 KachelY 8895 -0.28225246 1.10372134 -16.171875 63.238575
    Oben rechts KachelX + 1 14913 KachelY 8895 -0.28206072 1.10372134 -16.160889 63.238575
    Unten links KachelX 14912 KachelY + 1 8896 -0.28225246 1.10363500 -16.171875 63.233628
    Unten rechts KachelX + 1 14913 KachelY + 1 8896 -0.28206072 1.10363500 -16.160889 63.233628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10372134-1.10363500) × R
    8.63400000001846e-05 × 6371000     		dl = 550.072140001176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10372134-1.10363500) × R
    8.63400000001846e-05 × 6371000     		dr = 550.072140001176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28225246--0.28206072) × cos(1.10372134) × R
    0.000191739999999996 × 0.450276502702783 × 6371000     		do = 550.046761938452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28225246--0.28206072) × cos(1.10363500) × R
    0.000191739999999996 × 0.450353593075369 × 6371000     		du = 550.140933651972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10372134)-sin(1.10363500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450276502702783-0.450353593075369)×R²
    abs(-0.28206072--0.28225246)×7.7090372586075e-05×R²
    0.000191739999999996×7.7090372586075e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.7090372586075e-05×40589641000000     		ar = 302591.30024612m²