Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14912 / 14784
↖ ↑ ↗
← S 80.872827°
E147.656250°		 ← 387.57 m → S 80.872827°
E147.678223°		 →
↑
387.48 m
↓
↑
387.48 m
↓
S 80.876312°
E147.656250°		 ← 387.42 m →
150 148 m²		 S 80.876312°
E147.678223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910186767578125 y=0.902374267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910186767578125 × 214)
    floor (0.910186767578125 × 16384)
    floor (14912.5)     		tx = 14912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902374267578125 × 214)
    floor (0.902374267578125 × 16384)
    floor (14784.5)     		ty = 14784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14912 / 14784 ti = "14/14912/14784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14912/14784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14912 ÷ 214
    14912 ÷ 16384     		x = 0.91015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14784 ÷ 214
    14784 ÷ 16384     		y = 0.90234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91015625 × 2 - 1) × π
    0.8203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57708772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90234375 × 2 - 1) × π
    -0.8046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.52800033836328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57708772} λ = 2.57708772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52800033836328))-π/2
    2×atan(0.0798184707431313)-π/2
    2×0.07964960825357-π/2
    0.15929921650714-1.57079632675     		φ = -1.41149711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57708772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41149711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.872827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14912 KachelY 14784 2.57708772 -1.41149711 147.656250 -80.872827
    Oben rechts KachelX + 1 14913 KachelY 14784 2.57747122 -1.41149711 147.678223 -80.872827
    Unten links KachelX 14912 KachelY + 1 14785 2.57708772 -1.41155793 147.656250 -80.876312
    Unten rechts KachelX + 1 14913 KachelY + 1 14785 2.57747122 -1.41155793 147.678223 -80.876312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41149711--1.41155793) × R
    6.08200000000725e-05 × 6371000     		dl = 387.484220000462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41149711--1.41155793) × R
    6.08200000000725e-05 × 6371000     		dr = 387.484220000462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57708772-2.57747122) × cos(-1.41149711) × R
    0.00038349999999987 × 0.15862633525071 × 6371000     		do = 387.568314451719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57708772-2.57747122) × cos(-1.41155793) × R
    0.00038349999999987 × 0.158566285018328 × 6371000     		du = 387.421595010022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41149711)-sin(-1.41155793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15862633525071-0.158566285018328)×R²
    abs(2.57747122-2.57708772)×6.00502323814256e-05×R²
    0.00038349999999987×6.00502323814256e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.00502323814256e-05×40589641000000     		ar = 150148.180335549m²