Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14911 / 21311
↖ ↑ ↗
← S 47.509780°
W 16.182861°		 ← 825.17 m → S 47.509780°
W 16.171875°		 →
↑
825.11 m
↓
↑
825.11 m
↓
S 47.517200°
W 16.182861°		 ← 825.06 m →
680 810 m²		 S 47.517200°
W 16.171875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455062866210938 y=0.650375366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455062866210938 × 215)
    floor (0.455062866210938 × 32768)
    floor (14911.5)     		tx = 14911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650375366210938 × 215)
    floor (0.650375366210938 × 32768)
    floor (21311.5)     		ty = 21311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14911 / 21311 ti = "15/14911/21311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14911/21311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14911 ÷ 215
    14911 ÷ 32768     		x = 0.455047607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21311 ÷ 215
    21311 ÷ 32768     		y = 0.650360107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455047607421875 × 2 - 1) × π
    -0.08990478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28244421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650360107421875 × 2 - 1) × π
    -0.30072021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.944740417712067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28244421} λ = -0.28244421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944740417712067))-π/2
    2×atan(0.388780478330365)-π/2
    2×0.370797116407226-π/2
    0.741594232814452-1.57079632675     		φ = -0.82920209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28244421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.182861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82920209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.509780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14911 KachelY 21311 -0.28244421 -0.82920209 -16.182861 -47.509780
    Oben rechts KachelX + 1 14912 KachelY 21311 -0.28225246 -0.82920209 -16.171875 -47.509780
    Unten links KachelX 14911 KachelY + 1 21312 -0.28244421 -0.82933160 -16.182861 -47.517200
    Unten rechts KachelX + 1 14912 KachelY + 1 21312 -0.28225246 -0.82933160 -16.171875 -47.517200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82920209--0.82933160) × R
    0.000129509999999944 × 6371000     		dl = 825.108209999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82920209--0.82933160) × R
    0.000129509999999944 × 6371000     		dr = 825.108209999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28244421--0.28225246) × cos(-0.82920209) × R
    0.000191749999999991 × 0.675464347995798 × 6371000     		do = 825.173759487285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28244421--0.28225246) × cos(-0.82933160) × R
    0.000191749999999991 × 0.675368842609735 × 6371000     		du = 825.057086359084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82920209)-sin(-0.82933160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675464347995798-0.675368842609735)×R²
    abs(-0.28225246--0.28244421)×9.55053860627331e-05×R²
    0.000191749999999991×9.55053860627331e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.55053860627331e-05×40589641000000     		ar = 680809.510602724m²