Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14910 / 8898
↖ ↑ ↗
← N 63.223730°
W 16.193848°		 ← 550.36 m → N 63.223730°
W 16.182861°		 →
↑
550.39 m
↓
↑
550.39 m
↓
N 63.218781°
W 16.193848°		 ← 550.45 m →
302 938 m²		 N 63.218781°
W 16.182861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455032348632812 y=0.271560668945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455032348632812 × 215)
    floor (0.455032348632812 × 32768)
    floor (14910.5)     		tx = 14910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271560668945312 × 215)
    floor (0.271560668945312 × 32768)
    floor (8898.5)     		ty = 8898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14910 / 8898 ti = "15/14910/8898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14910/8898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14910 ÷ 215
    14910 ÷ 32768     		x = 0.45501708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8898 ÷ 215
    8898 ÷ 32768     		y = 0.27154541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45501708984375 × 2 - 1) × π
    -0.0899658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28263596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27154541015625 × 2 - 1) × π
    0.4569091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43542252222296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28263596} λ = -0.28263596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43542252222296))-π/2
    2×atan(4.20141982705636)-π/2
    2×1.33712929254458-π/2
    2.67425858508917-1.57079632675     		φ = 1.10346226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28263596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.193848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10346226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.223730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14910 KachelY 8898 -0.28263596 1.10346226 -16.193848 63.223730
    Oben rechts KachelX + 1 14911 KachelY 8898 -0.28244421 1.10346226 -16.182861 63.223730
    Unten links KachelX 14910 KachelY + 1 8899 -0.28263596 1.10337587 -16.193848 63.218781
    Unten rechts KachelX + 1 14911 KachelY + 1 8899 -0.28244421 1.10337587 -16.182861 63.218781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10346226-1.10337587) × R
    8.63899999998807e-05 × 6371000     		dl = 550.39068999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10346226-1.10337587) × R
    8.63899999998807e-05 × 6371000     		dr = 550.39068999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28263596--0.28244421) × cos(1.10346226) × R
    0.000191750000000046 × 0.450507817314704 × 6371000     		do = 550.358032063605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28263596--0.28244421) × cos(1.10337587) × R
    0.000191750000000046 × 0.450584942248299 × 6371000     		du = 550.452250909638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10346226)-sin(1.10337587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450507817314704-0.450584942248299)×R²
    abs(-0.28244421--0.28263596)×7.71249335946855e-05×R²
    0.000191750000000046×7.71249335946855e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.71249335946855e-05×40589641000000     		ar = 302937.865789863m²