Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14909 / 21495
↖ ↑ ↗
← S 48.857487°
W 16.204834°		 ← 803.76 m → S 48.857487°
W 16.193848°		 →
↑
803.70 m
↓
↑
803.70 m
↓
S 48.864715°
W 16.204834°		 ← 803.64 m →
645 935 m²		 S 48.864715°
W 16.193848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455001831054688 y=0.655990600585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455001831054688 × 215)
    floor (0.455001831054688 × 32768)
    floor (14909.5)     		tx = 14909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655990600585938 × 215)
    floor (0.655990600585938 × 32768)
    floor (21495.5)     		ty = 21495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14909 / 21495 ti = "15/14909/21495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14909/21495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14909 ÷ 215
    14909 ÷ 32768     		x = 0.454986572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21495 ÷ 215
    21495 ÷ 32768     		y = 0.655975341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454986572265625 × 2 - 1) × π
    -0.09002685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28282771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655975341796875 × 2 - 1) × π
    -0.31195068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.980021975832428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28282771} λ = -0.28282771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980021975832428))-π/2
    2×atan(0.375302851168208)-π/2
    2×0.359036157183413-π/2
    0.718072314366827-1.57079632675     		φ = -0.85272401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28282771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.204834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85272401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.857487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14909 KachelY 21495 -0.28282771 -0.85272401 -16.204834 -48.857487
    Oben rechts KachelX + 1 14910 KachelY 21495 -0.28263596 -0.85272401 -16.193848 -48.857487
    Unten links KachelX 14909 KachelY + 1 21496 -0.28282771 -0.85285016 -16.204834 -48.864715
    Unten rechts KachelX + 1 14910 KachelY + 1 21496 -0.28263596 -0.85285016 -16.193848 -48.864715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85272401--0.85285016) × R
    0.000126150000000047 × 6371000     		dl = 803.7016500003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85272401--0.85285016) × R
    0.000126150000000047 × 6371000     		dr = 803.7016500003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28282771--0.28263596) × cos(-0.85272401) × R
    0.000191749999999991 × 0.657934204467473 × 6371000     		do = 803.75824809495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28282771--0.28263596) × cos(-0.85285016) × R
    0.000191749999999991 × 0.657839198768838 × 6371000     		du = 803.642185404524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85272401)-sin(-0.85285016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657934204467473-0.657839198768838)×R²
    abs(-0.28263596--0.28282771)×9.50056986347425e-05×R²
    0.000191749999999991×9.50056986347425e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.50056986347425e-05×40589641000000     		ar = 645935.19116458m²