Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14909 / 14651
↖ ↑ ↗
← S 80.397398°
E147.590332°		 ← 407.56 m → S 80.397398°
E147.612305°		 →
↑
407.49 m
↓
↑
407.49 m
↓
S 80.401063°
E147.590332°		 ← 407.41 m →
166 045 m²		 S 80.401063°
E147.612305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910003662109375 y=0.894256591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910003662109375 × 214)
    floor (0.910003662109375 × 16384)
    floor (14909.5)     		tx = 14909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894256591796875 × 214)
    floor (0.894256591796875 × 16384)
    floor (14651.5)     		ty = 14651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14909 / 14651 ti = "14/14909/14651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14909/14651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14909 ÷ 214
    14909 ÷ 16384     		x = 0.90997314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14651 ÷ 214
    14651 ÷ 16384     		y = 0.89422607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90997314453125 × 2 - 1) × π
    0.8199462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57593724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89422607421875 × 2 - 1) × π
    -0.7884521484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47699547716754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57593724} λ = 2.57593724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47699547716754))-π/2
    2×atan(0.0839952123860289)-π/2
    2×0.0837985101601538-π/2
    0.167597020320308-1.57079632675     		φ = -1.40319931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57593724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.590332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40319931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.397398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14909 KachelY 14651 2.57593724 -1.40319931 147.590332 -80.397398
    Oben rechts KachelX + 1 14910 KachelY 14651 2.57632073 -1.40319931 147.612305 -80.397398
    Unten links KachelX 14909 KachelY + 1 14652 2.57593724 -1.40326327 147.590332 -80.401063
    Unten rechts KachelX + 1 14910 KachelY + 1 14652 2.57632073 -1.40326327 147.612305 -80.401063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40319931--1.40326327) × R
    6.39600000000851e-05 × 6371000     		dl = 407.489160000542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40319931--1.40326327) × R
    6.39600000000851e-05 × 6371000     		dr = 407.489160000542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57593724-2.57632073) × cos(-1.40319931) × R
    0.000383489999999931 × 0.166813519247195 × 6371000     		do = 407.561257396623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57593724-2.57632073) × cos(-1.40326327) × R
    0.000383489999999931 × 0.166750455083917 × 6371000     		du = 407.407178100183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40319931)-sin(-1.40326327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166813519247195-0.166750455083917)×R²
    abs(2.57632073-2.57593724)×6.30641632781148e-05×R²
    0.000383489999999931×6.30641632781148e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.30641632781148e-05×40589641000000     		ar = 166045.401661453m²