Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14909 / 14650
↖ ↑ ↗
← S 80.393732°
E147.590332°		 ← 407.72 m → S 80.393732°
E147.612305°		 →
↑
407.68 m
↓
↑
407.68 m
↓
S 80.397398°
E147.590332°		 ← 407.56 m →
166 186 m²		 S 80.397398°
E147.612305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910003662109375 y=0.894195556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910003662109375 × 214)
    floor (0.910003662109375 × 16384)
    floor (14909.5)     		tx = 14909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894195556640625 × 214)
    floor (0.894195556640625 × 16384)
    floor (14650.5)     		ty = 14650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14909 / 14650 ti = "14/14909/14650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14909/14650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14909 ÷ 214
    14909 ÷ 16384     		x = 0.90997314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14650 ÷ 214
    14650 ÷ 16384     		y = 0.8941650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90997314453125 × 2 - 1) × π
    0.8199462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57593724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8941650390625 × 2 - 1) × π
    -0.788330078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.47661198197058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57593724} λ = 2.57593724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47661198197058))-π/2
    2×atan(0.0840274303238639)-π/2
    2×0.0838305023005905-π/2
    0.167661004601181-1.57079632675     		φ = -1.40313532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57593724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.590332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40313532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.393732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14909 KachelY 14650 2.57593724 -1.40313532 147.590332 -80.393732
    Oben rechts KachelX + 1 14910 KachelY 14650 2.57632073 -1.40313532 147.612305 -80.393732
    Unten links KachelX 14909 KachelY + 1 14651 2.57593724 -1.40319931 147.590332 -80.397398
    Unten rechts KachelX + 1 14910 KachelY + 1 14651 2.57632073 -1.40319931 147.612305 -80.397398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40313532--1.40319931) × R
    6.39899999999027e-05 × 6371000     		dl = 407.68028999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40313532--1.40319931) × R
    6.39899999999027e-05 × 6371000     		dr = 407.68028999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57593724-2.57632073) × cos(-1.40313532) × R
    0.000383489999999931 × 0.166876612307392 × 6371000     		do = 407.715407294443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57593724-2.57632073) × cos(-1.40319931) × R
    0.000383489999999931 × 0.166813519247195 × 6371000     		du = 407.561257396623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40313532)-sin(-1.40319931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166876612307392-0.166813519247195)×R²
    abs(2.57632073-2.57593724)×6.30930601972224e-05×R²
    0.000383489999999931×6.30930601972224e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.30930601972224e-05×40589641000000     		ar = 166186.113601784m²