Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14908 / 21316
↖ ↑ ↗
← S 47.546872°
W 16.215821°		 ← 824.59 m → S 47.546872°
W 16.204834°		 →
↑
824.53 m
↓
↑
824.53 m
↓
S 47.554287°
W 16.215821°		 ← 824.47 m →
679 855 m²		 S 47.554287°
W 16.204834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454971313476562 y=0.650527954101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454971313476562 × 215)
    floor (0.454971313476562 × 32768)
    floor (14908.5)     		tx = 14908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650527954101562 × 215)
    floor (0.650527954101562 × 32768)
    floor (21316.5)     		ty = 21316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14908 / 21316 ti = "15/14908/21316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14908/21316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14908 ÷ 215
    14908 ÷ 32768     		x = 0.4549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21316 ÷ 215
    21316 ÷ 32768     		y = 0.6505126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4549560546875 × 2 - 1) × π
    -0.090087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28301946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6505126953125 × 2 - 1) × π
    -0.301025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.945699155704468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28301946} λ = -0.28301946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.945699155704468))-π/2
    2×atan(0.388407918337333)-π/2
    2×0.370473434194483-π/2
    0.740946868388965-1.57079632675     		φ = -0.82984946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28301946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.215821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82984946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.546872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14908 KachelY 21316 -0.28301946 -0.82984946 -16.215821 -47.546872
    Oben rechts KachelX + 1 14909 KachelY 21316 -0.28282771 -0.82984946 -16.204834 -47.546872
    Unten links KachelX 14908 KachelY + 1 21317 -0.28301946 -0.82997888 -16.215821 -47.554287
    Unten rechts KachelX + 1 14909 KachelY + 1 21317 -0.28282771 -0.82997888 -16.204834 -47.554287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82984946--0.82997888) × R
    0.000129419999999936 × 6371000     		dl = 824.53481999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82984946--0.82997888) × R
    0.000129419999999936 × 6371000     		dr = 824.53481999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28301946--0.28282771) × cos(-0.82984946) × R
    0.000191749999999991 × 0.674986840612339 × 6371000     		do = 824.590417725486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28301946--0.28282771) × cos(-0.82997888) × R
    0.000191749999999991 × 0.674891345031308 × 6371000     		du = 824.473756575498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82984946)-sin(-0.82997888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674986840612339-0.674891345031308)×R²
    abs(-0.28282771--0.28301946)×9.54955810306135e-05×R²
    0.000191749999999991×9.54955810306135e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.54955810306135e-05×40589641000000     		ar = 679855.417011286m²