Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14907 / 14652
↖ ↑ ↗
← S 80.401063°
E147.546387°		 ← 407.41 m → S 80.401063°
E147.568359°		 →
↑
407.30 m
↓
↑
407.30 m
↓
S 80.404726°
E147.546387°		 ← 407.25 m →
165 905 m²		 S 80.404726°
E147.568359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909881591796875 y=0.894317626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909881591796875 × 214)
    floor (0.909881591796875 × 16384)
    floor (14907.5)     		tx = 14907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894317626953125 × 214)
    floor (0.894317626953125 × 16384)
    floor (14652.5)     		ty = 14652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14907 / 14652 ti = "14/14907/14652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14907/14652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14907 ÷ 214
    14907 ÷ 16384     		x = 0.90985107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14652 ÷ 214
    14652 ÷ 16384     		y = 0.894287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90985107421875 × 2 - 1) × π
    0.8197021484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57517025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894287109375 × 2 - 1) × π
    -0.78857421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.4773789723645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57517025} λ = 2.57517025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4773789723645))-π/2
    2×atan(0.0839630068012494)-π/2
    2×0.0837665301143573-π/2
    0.167533060228715-1.57079632675     		φ = -1.40326327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57517025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.546387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40326327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.401063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14907 KachelY 14652 2.57517025 -1.40326327 147.546387 -80.401063
    Oben rechts KachelX + 1 14908 KachelY 14652 2.57555374 -1.40326327 147.568359 -80.401063
    Unten links KachelX 14907 KachelY + 1 14653 2.57517025 -1.40332720 147.546387 -80.404726
    Unten rechts KachelX + 1 14908 KachelY + 1 14653 2.57555374 -1.40332720 147.568359 -80.404726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40326327--1.40332720) × R
    6.39300000000453e-05 × 6371000     		dl = 407.298030000289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40326327--1.40332720) × R
    6.39300000000453e-05 × 6371000     		dr = 407.298030000289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57517025-2.57555374) × cos(-1.40326327) × R
    0.000383489999999931 × 0.166750455083917 × 6371000     		do = 407.407178100183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57517025-2.57555374) × cos(-1.40332720) × R
    0.000383489999999931 × 0.166687419818776 × 6371000     		du = 407.2531694081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40326327)-sin(-1.40332720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166750455083917-0.166687419818776)×R²
    abs(2.57555374-2.57517025)×6.30352651406485e-05×R²
    0.000383489999999931×6.30352651406485e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.30352651406485e-05×40589641000000     		ar = 165904.777386321m²