Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14906 / 6822
↖ ↑ ↗
← N 71.835691°
W 16.237793°		 ← 380.84 m → N 71.835691°
W 16.226806°		 →
↑
380.86 m
↓
↑
380.86 m
↓
N 71.832265°
W 16.237793°		 ← 380.91 m →
145 058 m²		 N 71.832265°
W 16.226806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454910278320312 y=0.208206176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454910278320312 × 215)
    floor (0.454910278320312 × 32768)
    floor (14906.5)     		tx = 14906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208206176757812 × 215)
    floor (0.208206176757812 × 32768)
    floor (6822.5)     		ty = 6822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14906 / 6822 ti = "15/14906/6822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14906/6822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14906 ÷ 215
    14906 ÷ 32768     		x = 0.45489501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6822 ÷ 215
    6822 ÷ 32768     		y = 0.20819091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45489501953125 × 2 - 1) × π
    -0.0902099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28340295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20819091796875 × 2 - 1) × π
    0.5836181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.83349053666791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28340295} λ = -0.28340295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83349053666791))-π/2
    2×atan(6.25568428907265)-π/2
    2×1.4122828244278-π/2
    2.8245656488556-1.57079632675     		φ = 1.25376932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28340295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.237793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25376932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.835691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14906 KachelY 6822 -0.28340295 1.25376932 -16.237793 71.835691
    Oben rechts KachelX + 1 14907 KachelY 6822 -0.28321120 1.25376932 -16.226806 71.835691
    Unten links KachelX 14906 KachelY + 1 6823 -0.28340295 1.25370954 -16.237793 71.832265
    Unten rechts KachelX + 1 14907 KachelY + 1 6823 -0.28321120 1.25370954 -16.226806 71.832265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25376932-1.25370954) × R
    5.97799999999538e-05 × 6371000     		dl = 380.858379999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25376932-1.25370954) × R
    5.97799999999538e-05 × 6371000     		dr = 380.858379999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28340295--0.28321120) × cos(1.25376932) × R
    0.000191749999999991 × 0.311743104148435 × 6371000     		do = 380.837611944547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28340295--0.28321120) × cos(1.25370954) × R
    0.000191749999999991 × 0.311799904540314 × 6371000     		du = 380.907001532683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25376932)-sin(1.25370954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311743104148435-0.311799904540314)×R²
    abs(-0.28321120--0.28340295)×5.68003918797189e-05×R²
    0.000191749999999991×5.68003918797189e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.68003918797189e-05×40589641000000     		ar = 145058.409774312m²