Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14906 / 21327
↖ ↑ ↗
← S 47.628380°
W 16.237793°		 ← 823.31 m → S 47.628380°
W 16.226806°		 →
↑
823.26 m
↓
↑
823.26 m
↓
S 47.635784°
W 16.237793°		 ← 823.19 m →
677 748 m²		 S 47.635784°
W 16.226806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454910278320312 y=0.650863647460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454910278320312 × 215)
    floor (0.454910278320312 × 32768)
    floor (14906.5)     		tx = 14906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650863647460938 × 215)
    floor (0.650863647460938 × 32768)
    floor (21327.5)     		ty = 21327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14906 / 21327 ti = "15/14906/21327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14906/21327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14906 ÷ 215
    14906 ÷ 32768     		x = 0.45489501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21327 ÷ 215
    21327 ÷ 32768     		y = 0.650848388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45489501953125 × 2 - 1) × π
    -0.0902099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28340295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650848388671875 × 2 - 1) × π
    -0.30169677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.94780837928775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28340295} λ = -0.28340295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.94780837928775))-π/2
    2×atan(0.387589542568179)-π/2
    2×0.369762138971547-π/2
    0.739524277943094-1.57079632675     		φ = -0.83127205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28340295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.237793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83127205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.628380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14906 KachelY 21327 -0.28340295 -0.83127205 -16.237793 -47.628380
    Oben rechts KachelX + 1 14907 KachelY 21327 -0.28321120 -0.83127205 -16.226806 -47.628380
    Unten links KachelX 14906 KachelY + 1 21328 -0.28340295 -0.83140127 -16.237793 -47.635784
    Unten rechts KachelX + 1 14907 KachelY + 1 21328 -0.28321120 -0.83140127 -16.226806 -47.635784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83127205--0.83140127) × R
    0.00012921999999993 × 6371000     		dl = 823.260619999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83127205--0.83140127) × R
    0.00012921999999993 × 6371000     		dr = 823.260619999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28340295--0.28321120) × cos(-0.83127205) × R
    0.000191749999999991 × 0.673936528711856 × 6371000     		do = 823.307315483115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28340295--0.28321120) × cos(-0.83140127) × R
    0.000191749999999991 × 0.673841056738662 × 6371000     		du = 823.190683173386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83127205)-sin(-0.83140127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673936528711856-0.673841056738662)×R²
    abs(-0.28321120--0.28340295)×9.547197319415e-05×R²
    0.000191749999999991×9.547197319415e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.547197319415e-05×40589641000000     		ar = 677748.482544024m²