Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14906 / 21256
↖ ↑ ↗
← S 47.100045°
W 16.237793°		 ← 831.59 m → S 47.100045°
W 16.226806°		 →
↑
831.48 m
↓
↑
831.48 m
↓
S 47.107522°
W 16.237793°		 ← 831.48 m →
691 405 m²		 S 47.107522°
W 16.226806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454910278320312 y=0.648696899414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454910278320312 × 215)
    floor (0.454910278320312 × 32768)
    floor (14906.5)     		tx = 14906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648696899414062 × 215)
    floor (0.648696899414062 × 32768)
    floor (21256.5)     		ty = 21256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14906 / 21256 ti = "15/14906/21256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14906/21256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14906 ÷ 215
    14906 ÷ 32768     		x = 0.45489501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21256 ÷ 215
    21256 ÷ 32768     		y = 0.648681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45489501953125 × 2 - 1) × π
    -0.0902099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28340295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648681640625 × 2 - 1) × π
    -0.29736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.934194299795654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28340295} λ = -0.28340295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.934194299795654))-π/2
    2×atan(0.39290229950194)-π/2
    2×0.374372734532924-π/2
    0.748745469065848-1.57079632675     		φ = -0.82205086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28340295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.237793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82205086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.100045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14906 KachelY 21256 -0.28340295 -0.82205086 -16.237793 -47.100045
    Oben rechts KachelX + 1 14907 KachelY 21256 -0.28321120 -0.82205086 -16.226806 -47.100045
    Unten links KachelX 14906 KachelY + 1 21257 -0.28340295 -0.82218137 -16.237793 -47.107522
    Unten rechts KachelX + 1 14907 KachelY + 1 21257 -0.28321120 -0.82218137 -16.226806 -47.107522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82205086--0.82218137) × R
    0.000130509999999973 × 6371000     		dl = 831.479209999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82205086--0.82218137) × R
    0.000130509999999973 × 6371000     		dr = 831.479209999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28340295--0.28321120) × cos(-0.82205086) × R
    0.000191749999999991 × 0.680720295882583 × 6371000     		do = 831.594631721736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28340295--0.28321120) × cos(-0.82218137) × R
    0.000191749999999991 × 0.680624685842326 × 6371000     		du = 831.477830743863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82205086)-sin(-0.82218137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680720295882583-0.680624685842326)×R²
    abs(-0.28321120--0.28340295)×9.56100402572657e-05×R²
    0.000191749999999991×9.56100402572657e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.56100402572657e-05×40589641000000     		ar = 691405.089613261m²