Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14906 / 10826
↖ ↑ ↗
← N 76.087594°
W 98.118896°		 ← 146.86 m → N 76.087594°
W 98.113403°		 →
↑
146.85 m
↓
↑
146.85 m
↓
N 76.086274°
W 98.118896°		 ← 146.87 m →
21 567 m²		 N 76.086274°
W 98.113403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227455139160156 y=0.165199279785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227455139160156 × 216)
    floor (0.227455139160156 × 65536)
    floor (14906.5)     		tx = 14906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165199279785156 × 216)
    floor (0.165199279785156 × 65536)
    floor (10826.5)     		ty = 10826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14906 / 10826 ti = "16/14906/10826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14906/10826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14906 ÷ 216
    14906 ÷ 65536     		x = 0.227447509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10826 ÷ 216
    10826 ÷ 65536     		y = 0.165191650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.54510498046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71249780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165191650390625 × 2 - 1) × π
    0.66961669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10366290292654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71249780} λ = -1.71249780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10366290292654))-π/2
    2×atan(8.19613664935805)-π/2
    2×1.44938768576432-π/2
    2.89877537152863-1.57079632675     		φ = 1.32797904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71249780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.118896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32797904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.087594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14906 KachelY 10826 -1.71249780 1.32797904 -98.118896 76.087594
    Oben rechts KachelX + 1 14907 KachelY 10826 -1.71240193 1.32797904 -98.113403 76.087594
    Unten links KachelX 14906 KachelY + 1 10827 -1.71249780 1.32795599 -98.118896 76.086274
    Unten rechts KachelX + 1 14907 KachelY + 1 10827 -1.71240193 1.32795599 -98.113403 76.086274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32797904-1.32795599) × R
    2.30500000000244e-05 × 6371000     		dl = 146.851550000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32797904-1.32795599) × R
    2.30500000000244e-05 × 6371000     		dr = 146.851550000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71249780--1.71240193) × cos(1.32797904) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.240438217122322 × 6371000     		do = 146.856722458916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71249780--1.71240193) × cos(1.32795599) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.240460590873893 × 6371000     		du = 146.870388072744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32797904)-sin(1.32795599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240438217122322-0.240460590873893)×R²
    abs(-1.71240193--1.71249780)×2.23737515702427e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.23737515702427e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.23737515702427e-05×40589641000000     		ar = 21567.1407305929m²