Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14905 / 6821
↖ ↑ ↗
← N 71.839115°
W 16.248779°		 ← 380.77 m → N 71.839115°
W 16.237793°		 →
↑
380.79 m
↓
↑
380.79 m
↓
N 71.835691°
W 16.248779°		 ← 380.84 m →
145 008 m²		 N 71.835691°
W 16.237793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454879760742188 y=0.208175659179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454879760742188 × 215)
    floor (0.454879760742188 × 32768)
    floor (14905.5)     		tx = 14905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208175659179688 × 215)
    floor (0.208175659179688 × 32768)
    floor (6821.5)     		ty = 6821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14905 / 6821 ti = "15/14905/6821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14905/6821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14905 ÷ 215
    14905 ÷ 32768     		x = 0.454864501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6821 ÷ 215
    6821 ÷ 32768     		y = 0.208160400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454864501953125 × 2 - 1) × π
    -0.09027099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28359470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208160400390625 × 2 - 1) × π
    0.58367919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83368228426639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28359470} λ = -0.28359470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83368228426639))-π/2
    2×atan(6.2568839165211)-π/2
    2×1.41231270970086-π/2
    2.82462541940172-1.57079632675     		φ = 1.25382909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28359470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.248779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25382909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.839115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14905 KachelY 6821 -0.28359470 1.25382909 -16.248779 71.839115
    Oben rechts KachelX + 1 14906 KachelY 6821 -0.28340295 1.25382909 -16.237793 71.839115
    Unten links KachelX 14905 KachelY + 1 6822 -0.28359470 1.25376932 -16.248779 71.835691
    Unten rechts KachelX + 1 14906 KachelY + 1 6822 -0.28340295 1.25376932 -16.237793 71.835691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25382909-1.25376932) × R
    5.97700000000145e-05 × 6371000     		dl = 380.794670000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25382909-1.25376932) × R
    5.97700000000145e-05 × 6371000     		dr = 380.794670000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28359470--0.28340295) × cos(1.25382909) × R
    0.000191749999999991 × 0.311686312144345 × 6371000     		do = 380.768232603265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28359470--0.28340295) × cos(1.25376932) × R
    0.000191749999999991 × 0.311743104148435 × 6371000     		du = 380.837611944547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25382909)-sin(1.25376932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311686312144345-0.311743104148435)×R²
    abs(-0.28340295--0.28359470)×5.67920040894232e-05×R²
    0.000191749999999991×5.67920040894232e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.67920040894232e-05×40589641000000     		ar = 145007.723165109m²