Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14905 / 5689
↖ ↑ ↗
← N 81.471965°
W 98.124390°		 ← 90.59 m → N 81.471965°
W 98.118896°		 →
↑
90.60 m
↓
↑
90.60 m
↓
N 81.471150°
W 98.124390°		 ← 90.59 m →
8 207 m²		 N 81.471150°
W 98.118896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227439880371094 y=0.0868148803710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227439880371094 × 216)
    floor (0.227439880371094 × 65536)
    floor (14905.5)     		tx = 14905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0868148803710938 × 216)
    floor (0.0868148803710938 × 65536)
    floor (5689.5)     		ty = 5689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14905 / 5689 ti = "16/14905/5689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14905/5689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14905 ÷ 216
    14905 ÷ 65536     		x = 0.227432250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5689 ÷ 216
    5689 ÷ 65536     		y = 0.0868072509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227432250976562 × 2 - 1) × π
    -0.545135498046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71259368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0868072509765625 × 2 - 1) × π
    0.826385498046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.596166609623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71259368} λ = -1.71259368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.596166609623))-π/2
    2×atan(13.4122250689155)-π/2
    2×1.49637518161625-π/2
    2.99275036323251-1.57079632675     		φ = 1.42195404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71259368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.124390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42195404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.471965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14905 KachelY 5689 -1.71259368 1.42195404 -98.124390 81.471965
    Oben rechts KachelX + 1 14906 KachelY 5689 -1.71249780 1.42195404 -98.118896 81.471965
    Unten links KachelX 14905 KachelY + 1 5690 -1.71259368 1.42193982 -98.124390 81.471150
    Unten rechts KachelX + 1 14906 KachelY + 1 5690 -1.71249780 1.42193982 -98.118896 81.471150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42195404-1.42193982) × R
    1.42199999999537e-05 × 6371000     		dl = 90.5956199997051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42195404-1.42193982) × R
    1.42199999999537e-05 × 6371000     		dr = 90.5956199997051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71259368--1.71249780) × cos(1.42195404) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148293319249615 × 6371000     		do = 90.5851935376805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71259368--1.71249780) × cos(1.42193982) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148307382010079 × 6371000     		du = 90.5937837957228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42195404)-sin(1.42193982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148293319249615-0.148307382010079)×R²
    abs(-1.71249780--1.71259368)×1.40627604640065e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.40627604640065e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.40627604640065e-05×40589641000000     		ar = 8207.01089163969m²