Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14905 / 21331
↖ ↑ ↗
← S 47.657988°
W 16.248779°		 ← 822.84 m → S 47.657988°
W 16.237793°		 →
↑
822.75 m
↓
↑
822.75 m
↓
S 47.665387°
W 16.248779°		 ← 822.72 m →
676 945 m²		 S 47.665387°
W 16.237793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454879760742188 y=0.650985717773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454879760742188 × 215)
    floor (0.454879760742188 × 32768)
    floor (14905.5)     		tx = 14905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650985717773438 × 215)
    floor (0.650985717773438 × 32768)
    floor (21331.5)     		ty = 21331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14905 / 21331 ti = "15/14905/21331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14905/21331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14905 ÷ 215
    14905 ÷ 32768     		x = 0.454864501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21331 ÷ 215
    21331 ÷ 32768     		y = 0.650970458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454864501953125 × 2 - 1) × π
    -0.09027099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28359470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650970458984375 × 2 - 1) × π
    -0.30194091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.948575369681671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28359470} λ = -0.28359470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.948575369681671))-π/2
    2×atan(0.38729237908758)-π/2
    2×0.369503760772084-π/2
    0.739007521544167-1.57079632675     		φ = -0.83178881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28359470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.248779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83178881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.657988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14905 KachelY 21331 -0.28359470 -0.83178881 -16.248779 -47.657988
    Oben rechts KachelX + 1 14906 KachelY 21331 -0.28340295 -0.83178881 -16.237793 -47.657988
    Unten links KachelX 14905 KachelY + 1 21332 -0.28359470 -0.83191795 -16.248779 -47.665387
    Unten rechts KachelX + 1 14906 KachelY + 1 21332 -0.28340295 -0.83191795 -16.237793 -47.665387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83178881--0.83191795) × R
    0.000129139999999972 × 6371000     		dl = 822.750939999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83178881--0.83191795) × R
    0.000129139999999972 × 6371000     		dr = 822.750939999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28359470--0.28340295) × cos(-0.83178881) × R
    0.000191749999999991 × 0.673554662011938 × 6371000     		do = 822.840812134227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28359470--0.28340295) × cos(-0.83191795) × R
    0.000191749999999991 × 0.673459204190033 × 6371000     		du = 822.724197112268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83178881)-sin(-0.83191795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673554662011938-0.673459204190033)×R²
    abs(-0.28340295--0.28359470)×9.54578219055646e-05×R²
    0.000191749999999991×9.54578219055646e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.54578219055646e-05×40589641000000     		ar = 676945.080035117m²