Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14905 / 14665
↖ ↑ ↗
← S 80.448577°
E147.502442°		 ← 405.41 m → S 80.448577°
E147.524414°		 →
↑
405.32 m
↓
↑
405.32 m
↓
S 80.452222°
E147.502442°		 ← 405.26 m →
164 291 m²		 S 80.452222°
E147.524414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909759521484375 y=0.895111083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909759521484375 × 214)
    floor (0.909759521484375 × 16384)
    floor (14905.5)     		tx = 14905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895111083984375 × 214)
    floor (0.895111083984375 × 16384)
    floor (14665.5)     		ty = 14665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14905 / 14665 ti = "14/14905/14665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14905/14665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14905 ÷ 214
    14905 ÷ 16384     		x = 0.90972900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14665 ÷ 214
    14665 ÷ 16384     		y = 0.89508056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90972900390625 × 2 - 1) × π
    0.8194580078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57440326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89508056640625 × 2 - 1) × π
    -0.7901611328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.48236440992499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57440326} λ = 2.57440326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48236440992499))-π/2
    2×atan(0.083545456174577)-π/2
    2×0.0833518881123536-π/2
    0.166703776224707-1.57079632675     		φ = -1.40409255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57440326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.502442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40409255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.448577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14905 KachelY 14665 2.57440326 -1.40409255 147.502442 -80.448577
    Oben rechts KachelX + 1 14906 KachelY 14665 2.57478675 -1.40409255 147.524414 -80.448577
    Unten links KachelX 14905 KachelY + 1 14666 2.57440326 -1.40415617 147.502442 -80.452222
    Unten rechts KachelX + 1 14906 KachelY + 1 14666 2.57478675 -1.40415617 147.524414 -80.452222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40409255--1.40415617) × R
    6.3619999999931e-05 × 6371000     		dl = 405.32301999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40409255--1.40415617) × R
    6.3619999999931e-05 × 6371000     		dr = 405.32301999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57440326-2.57478675) × cos(-1.40409255) × R
    0.000383489999999931 × 0.16593272848095 × 6371000     		do = 405.409296369638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57440326-2.57478675) × cos(-1.40415617) × R
    0.000383489999999931 × 0.165869990104509 × 6371000     		du = 405.256013040416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40409255)-sin(-1.40415617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16593272848095-0.165869990104509)×R²
    abs(2.57478675-2.57440326)×6.27383764413014e-05×R²
    0.000383489999999931×6.27383764413014e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.27383764413014e-05×40589641000000     		ar = 164290.655764734m²