Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14905 / 13622
↖ ↑ ↗
← N 29.017748°
W 16.248779°		 ← 1 068.29 m → N 29.017748°
W 16.237793°		 →
↑
1 068.29 m
↓
↑
1 068.29 m
↓
N 29.008140°
W 16.248779°		 ← 1 068.39 m →
1 141 292 m²		 N 29.008140°
W 16.237793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454879760742188 y=0.415725708007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454879760742188 × 215)
    floor (0.454879760742188 × 32768)
    floor (14905.5)     		tx = 14905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415725708007812 × 215)
    floor (0.415725708007812 × 32768)
    floor (13622.5)     		ty = 13622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14905 / 13622 ti = "15/14905/13622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14905/13622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14905 ÷ 215
    14905 ÷ 32768     		x = 0.454864501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13622 ÷ 215
    13622 ÷ 32768     		y = 0.41571044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454864501953125 × 2 - 1) × π
    -0.09027099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28359470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41571044921875 × 2 - 1) × π
    0.1685791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.52960686700238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28359470} λ = -0.28359470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52960686700238))-π/2
    2×atan(1.69826453353812)-π/2
    2×1.03862578560924-π/2
    2.07725157121848-1.57079632675     		φ = 0.50645524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28359470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.248779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50645524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.017748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14905 KachelY 13622 -0.28359470 0.50645524 -16.248779 29.017748
    Oben rechts KachelX + 1 14906 KachelY 13622 -0.28340295 0.50645524 -16.237793 29.017748
    Unten links KachelX 14905 KachelY + 1 13623 -0.28359470 0.50628756 -16.248779 29.008140
    Unten rechts KachelX + 1 14906 KachelY + 1 13623 -0.28340295 0.50628756 -16.237793 29.008140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50645524-0.50628756) × R
    0.000167680000000003 × 6371000     		dl = 1068.28928000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50645524-0.50628756) × R
    0.000167680000000003 × 6371000     		dr = 1068.28928000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28359470--0.28340295) × cos(0.50645524) × R
    0.000191749999999991 × 0.87446949204665 × 6371000     		do = 1068.2862544117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28359470--0.28340295) × cos(0.50628756) × R
    0.000191749999999991 × 0.874550818053727 × 6371000     		du = 1068.38560545399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50645524)-sin(0.50628756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87446949204665-0.874550818053727)×R²
    abs(-0.28340295--0.28359470)×8.13260070773314e-05×R²
    0.000191749999999991×8.13260070773314e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.13260070773314e-05×40589641000000     		ar = 1141291.82406019m²