Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14904 / 6808
↖ ↑ ↗
← N 71.883578°
W 16.259766°		 ← 379.87 m → N 71.883578°
W 16.248779°		 →
↑
379.90 m
↓
↑
379.90 m
↓
N 71.880162°
W 16.259766°		 ← 379.94 m →
144 326 m²		 N 71.880162°
W 16.248779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454849243164062 y=0.207778930664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454849243164062 × 215)
    floor (0.454849243164062 × 32768)
    floor (14904.5)     		tx = 14904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207778930664062 × 215)
    floor (0.207778930664062 × 32768)
    floor (6808.5)     		ty = 6808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14904 / 6808 ti = "15/14904/6808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14904/6808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14904 ÷ 215
    14904 ÷ 32768     		x = 0.454833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6808 ÷ 215
    6808 ÷ 32768     		y = 0.207763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454833984375 × 2 - 1) × π
    -0.09033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28378645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207763671875 × 2 - 1) × π
    0.58447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.83617500304663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28378645} λ = -0.28378645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83617500304663))-π/2
    2×atan(6.27250002376142)-π/2
    2×1.41270072312582-π/2
    2.82540144625163-1.57079632675     		φ = 1.25460512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28378645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.259766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25460512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.883578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14904 KachelY 6808 -0.28378645 1.25460512 -16.259766 71.883578
    Oben rechts KachelX + 1 14905 KachelY 6808 -0.28359470 1.25460512 -16.248779 71.883578
    Unten links KachelX 14904 KachelY + 1 6809 -0.28378645 1.25454549 -16.259766 71.880162
    Unten rechts KachelX + 1 14905 KachelY + 1 6809 -0.28359470 1.25454549 -16.248779 71.880162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25460512-1.25454549) × R
    5.96299999999772e-05 × 6371000     		dl = 379.902729999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25460512-1.25454549) × R
    5.96299999999772e-05 × 6371000     		dr = 379.902729999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28378645--0.28359470) × cos(1.25460512) × R
    0.000191750000000046 × 0.3109488462562 × 6371000     		do = 379.86731532888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28378645--0.28359470) × cos(1.25454549) × R
    0.000191750000000046 × 0.311005519644416 × 6371000     		du = 379.936549764356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25460512)-sin(1.25454549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3109488462562-0.311005519644416)×R²
    abs(-0.28359470--0.28378645)×5.66733882164661e-05×R²
    0.000191750000000046×5.66733882164661e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.66733882164661e-05×40589641000000     		ar = 144325.781349078m²