Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14904 / 15848
↖ ↑ ↗
← N 79.444453°
W139.064941°		 ← 55.95 m → N 79.444453°
W139.062195°		 →
↑
55.94 m
↓
↑
55.94 m
↓
N 79.443950°
W139.064941°		 ← 55.95 m →
3 130 m²		 N 79.443950°
W139.062195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113712310791016 y=0.120914459228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113712310791016 × 217)
    floor (0.113712310791016 × 131072)
    floor (14904.5)     		tx = 14904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120914459228516 × 217)
    floor (0.120914459228516 × 131072)
    floor (15848.5)     		ty = 15848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14904 / 15848 ti = "17/14904/15848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14904/15848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14904 ÷ 217
    14904 ÷ 131072     		x = 0.11370849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15848 ÷ 217
    15848 ÷ 131072     		y = 0.12091064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11370849609375 × 2 - 1) × π
    -0.7725830078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.42714110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12091064453125 × 2 - 1) × π
    0.7581787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38188866832135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42714110} λ = -2.42714110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38188866832135))-π/2
    2×atan(10.8253290247353)-π/2
    2×1.4786818021814-π/2
    2.95736360436279-1.57079632675     		φ = 1.38656728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42714110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.064941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38656728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.444453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14904 KachelY 15848 -2.42714110 1.38656728 -139.064941 79.444453
    Oben rechts KachelX + 1 14905 KachelY 15848 -2.42709316 1.38656728 -139.062195 79.444453
    Unten links KachelX 14904 KachelY + 1 15849 -2.42714110 1.38655850 -139.064941 79.443950
    Unten rechts KachelX + 1 14905 KachelY + 1 15849 -2.42709316 1.38655850 -139.062195 79.443950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38656728-1.38655850) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dl = 55.9373799995573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38656728-1.38655850) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dr = 55.9373799995573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42714110--2.42709316) × cos(1.38656728) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183188681084233 × 6371000     		do = 55.950538479739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42714110--2.42709316) × cos(1.38655850) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183197312500016 × 6371000     		du = 55.9531747362918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38656728)-sin(1.38655850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183188681084233-0.183197312500016)×R²
    abs(-2.42709316--2.42714110)×8.63141578302806e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.63141578302806e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.63141578302806e-06×40589641000000     		ar = 3129.80026493961m²