Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14903 / 6809
↖ ↑ ↗
← N 71.880162°
W 16.270752°		 ← 379.92 m → N 71.880162°
W 16.259766°		 →
↑
379.97 m
↓
↑
379.97 m
↓
N 71.876745°
W 16.270752°		 ← 379.99 m →
144 369 m²		 N 71.876745°
W 16.259766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454818725585938 y=0.207809448242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454818725585938 × 215)
    floor (0.454818725585938 × 32768)
    floor (14903.5)     		tx = 14903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207809448242188 × 215)
    floor (0.207809448242188 × 32768)
    floor (6809.5)     		ty = 6809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14903 / 6809 ti = "15/14903/6809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14903/6809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14903 ÷ 215
    14903 ÷ 32768     		x = 0.454803466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6809 ÷ 215
    6809 ÷ 32768     		y = 0.207794189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454803466796875 × 2 - 1) × π
    -0.09039306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28397819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207794189453125 × 2 - 1) × π
    0.58441162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83598325544815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28397819} λ = -0.28397819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83598325544815))-π/2
    2×atan(6.27129740224898)-π/2
    2×1.41267090856187-π/2
    2.82534181712375-1.57079632675     		φ = 1.25454549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28397819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.270752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25454549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.880162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14903 KachelY 6809 -0.28397819 1.25454549 -16.270752 71.880162
    Oben rechts KachelX + 1 14904 KachelY 6809 -0.28378645 1.25454549 -16.259766 71.880162
    Unten links KachelX 14903 KachelY + 1 6810 -0.28397819 1.25448585 -16.270752 71.876745
    Unten rechts KachelX + 1 14904 KachelY + 1 6810 -0.28378645 1.25448585 -16.259766 71.876745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25454549-1.25448585) × R
    5.96399999999164e-05 × 6371000     		dl = 379.966439999468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25454549-1.25448585) × R
    5.96399999999164e-05 × 6371000     		dr = 379.966439999468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28397819--0.28378645) × cos(1.25454549) × R
    0.000191739999999996 × 0.311005519644416 × 6371000     		do = 379.9167356026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28397819--0.28378645) × cos(1.25448585) × R
    0.000191739999999996 × 0.311062201430674 × 6371000     		du = 379.985976686256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25454549)-sin(1.25448585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311005519644416-0.311062201430674)×R²
    abs(-0.28378645--0.28397819)×5.6681786258117e-05×R²
    0.000191739999999996×5.6681786258117e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.6681786258117e-05×40589641000000     		ar = 144368.764210124m²