Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14903 / 21318
↖ ↑ ↗
← S 47.561701°
W 16.270752°		 ← 824.31 m → S 47.561701°
W 16.259766°		 →
↑
824.28 m
↓
↑
824.28 m
↓
S 47.569114°
W 16.270752°		 ← 824.20 m →
679 418 m²		 S 47.569114°
W 16.259766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454818725585938 y=0.650588989257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454818725585938 × 215)
    floor (0.454818725585938 × 32768)
    floor (14903.5)     		tx = 14903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650588989257812 × 215)
    floor (0.650588989257812 × 32768)
    floor (21318.5)     		ty = 21318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14903 / 21318 ti = "15/14903/21318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14903/21318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14903 ÷ 215
    14903 ÷ 32768     		x = 0.454803466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21318 ÷ 215
    21318 ÷ 32768     		y = 0.65057373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454803466796875 × 2 - 1) × π
    -0.09039306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28397819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65057373046875 × 2 - 1) × π
    -0.3011474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.946082650901428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28397819} λ = -0.28397819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946082650901428))-π/2
    2×atan(0.388258994323836)-π/2
    2×0.370344025399252-π/2
    0.740688050798503-1.57079632675     		φ = -0.83010828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28397819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.270752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83010828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.561701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14903 KachelY 21318 -0.28397819 -0.83010828 -16.270752 -47.561701
    Oben rechts KachelX + 1 14904 KachelY 21318 -0.28378645 -0.83010828 -16.259766 -47.561701
    Unten links KachelX 14903 KachelY + 1 21319 -0.28397819 -0.83023766 -16.270752 -47.569114
    Unten rechts KachelX + 1 14904 KachelY + 1 21319 -0.28378645 -0.83023766 -16.259766 -47.569114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83010828--0.83023766) × R
    0.000129379999999957 × 6371000     		dl = 824.279979999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83010828--0.83023766) × R
    0.000129379999999957 × 6371000     		dr = 824.279979999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28397819--0.28378645) × cos(-0.83010828) × R
    0.000191739999999996 × 0.674795852906249 × 6371000     		do = 824.314108403694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28397819--0.28378645) × cos(-0.83023766) × R
    0.000191739999999996 × 0.674700364244001 × 6371000     		du = 824.197461789544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83010828)-sin(-0.83023766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674795852906249-0.674700364244001)×R²
    abs(-0.28378645--0.28397819)×9.54886622485107e-05×R²
    0.000191739999999996×9.54886622485107e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.54886622485107e-05×40589641000000     		ar = 679417.543002344m²