Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14903 / 14664
↖ ↑ ↗
← S 80.444930°
E147.458496°		 ← 405.56 m → S 80.444930°
E147.480469°		 →
↑
405.51 m
↓
↑
405.51 m
↓
S 80.448577°
E147.458496°		 ← 405.41 m →
164 430 m²		 S 80.448577°
E147.480469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909637451171875 y=0.895050048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909637451171875 × 214)
    floor (0.909637451171875 × 16384)
    floor (14903.5)     		tx = 14903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895050048828125 × 214)
    floor (0.895050048828125 × 16384)
    floor (14664.5)     		ty = 14664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14903 / 14664 ti = "14/14903/14664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14903/14664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14903 ÷ 214
    14903 ÷ 16384     		x = 0.90960693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14664 ÷ 214
    14664 ÷ 16384     		y = 0.89501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90960693359375 × 2 - 1) × π
    0.8192138671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.57363627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89501953125 × 2 - 1) × π
    -0.7900390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.48198091472803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57363627} λ = 2.57363627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48198091472803))-π/2
    2×atan(0.0835775015999884)-π/2
    2×0.0833837113314744-π/2
    0.166767422662949-1.57079632675     		φ = -1.40402890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57363627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.458496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40402890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.444930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14903 KachelY 14664 2.57363627 -1.40402890 147.458496 -80.444930
    Oben rechts KachelX + 1 14904 KachelY 14664 2.57401976 -1.40402890 147.480469 -80.444930
    Unten links KachelX 14903 KachelY + 1 14665 2.57363627 -1.40409255 147.458496 -80.448577
    Unten rechts KachelX + 1 14904 KachelY + 1 14665 2.57401976 -1.40409255 147.480469 -80.448577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40402890--1.40409255) × R
    6.36500000001927e-05 × 6371000     		dl = 405.514150001228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40402890--1.40409255) × R
    6.36500000001927e-05 × 6371000     		dr = 405.514150001228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57363627-2.57401976) × cos(-1.40402890) × R
    0.000383489999999931 × 0.165995495769574 × 6371000     		do = 405.562650337531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57363627-2.57401976) × cos(-1.40409255) × R
    0.000383489999999931 × 0.16593272848095 × 6371000     		du = 405.409296369638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40402890)-sin(-1.40409255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165995495769574-0.16593272848095)×R²
    abs(2.57401976-2.57363627)×6.27672886235053e-05×R²
    0.000383489999999931×6.27672886235053e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.27672886235053e-05×40589641000000     		ar = 164430.299877339m²