Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14902 / 21314
↖ ↑ ↗
← S 47.532038°
W 16.281738°		 ← 824.82 m → S 47.532038°
W 16.270752°		 →
↑
824.73 m
↓
↑
824.73 m
↓
S 47.539455°
W 16.281738°		 ← 824.71 m →
680 205 m²		 S 47.539455°
W 16.270752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454788208007812 y=0.650466918945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454788208007812 × 215)
    floor (0.454788208007812 × 32768)
    floor (14902.5)     		tx = 14902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650466918945312 × 215)
    floor (0.650466918945312 × 32768)
    floor (21314.5)     		ty = 21314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14902 / 21314 ti = "15/14902/21314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14902/21314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14902 ÷ 215
    14902 ÷ 32768     		x = 0.45477294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21314 ÷ 215
    21314 ÷ 32768     		y = 0.65045166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45477294921875 × 2 - 1) × π
    -0.0904541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28416994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65045166015625 × 2 - 1) × π
    -0.3009033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.945315660507507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28416994} λ = -0.28416994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.945315660507507))-π/2
    2×atan(0.388556899473426)-π/2
    2×0.370602879611652-π/2
    0.741205759223305-1.57079632675     		φ = -0.82959057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28416994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.281738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82959057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.532038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14902 KachelY 21314 -0.28416994 -0.82959057 -16.281738 -47.532038
    Oben rechts KachelX + 1 14903 KachelY 21314 -0.28397819 -0.82959057 -16.270752 -47.532038
    Unten links KachelX 14902 KachelY + 1 21315 -0.28416994 -0.82972002 -16.281738 -47.539455
    Unten rechts KachelX + 1 14903 KachelY + 1 21315 -0.28397819 -0.82972002 -16.270752 -47.539455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82959057--0.82972002) × R
    0.000129449999999975 × 6371000     		dl = 824.725949999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82959057--0.82972002) × R
    0.000129449999999975 × 6371000     		dr = 824.725949999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28416994--0.28397819) × cos(-0.82959057) × R
    0.000191749999999991 × 0.675177834738401 × 6371000     		do = 824.823743646404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28416994--0.28397819) × cos(-0.82972002) × R
    0.000191749999999991 × 0.675082339642501 × 6371000     		du = 824.707083089069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82959057)-sin(-0.82972002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675177834738401-0.675082339642501)×R²
    abs(-0.28397819--0.28416994)×9.54950959006773e-05×R²
    0.000191749999999991×9.54950959006773e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.54950959006773e-05×40589641000000     		ar = 680205.44001705m²