Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14901 / 7530
↖ ↑ ↗
← N 69.248366°
W 16.292725°		 ← 432.85 m → N 69.248366°
W 16.281738°		 →
↑
432.91 m
↓
↑
432.91 m
↓
N 69.244472°
W 16.292725°		 ← 432.93 m →
187 401 m²		 N 69.244472°
W 16.281738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454757690429688 y=0.229812622070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454757690429688 × 215)
    floor (0.454757690429688 × 32768)
    floor (14901.5)     		tx = 14901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229812622070312 × 215)
    floor (0.229812622070312 × 32768)
    floor (7530.5)     		ty = 7530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14901 / 7530 ti = "15/14901/7530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14901/7530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14901 ÷ 215
    14901 ÷ 32768     		x = 0.454742431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7530 ÷ 215
    7530 ÷ 32768     		y = 0.22979736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454742431640625 × 2 - 1) × π
    -0.09051513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28436169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22979736328125 × 2 - 1) × π
    0.5404052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69773323694391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28436169} λ = -0.28436169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69773323694391))-π/2
    2×atan(5.46155330254734)-π/2
    2×1.38970415166942-π/2
    2.77940830333884-1.57079632675     		φ = 1.20861198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28436169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.292725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20861198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.248366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14901 KachelY 7530 -0.28436169 1.20861198 -16.292725 69.248366
    Oben rechts KachelX + 1 14902 KachelY 7530 -0.28416994 1.20861198 -16.281738 69.248366
    Unten links KachelX 14901 KachelY + 1 7531 -0.28436169 1.20854403 -16.292725 69.244472
    Unten rechts KachelX + 1 14902 KachelY + 1 7531 -0.28416994 1.20854403 -16.281738 69.244472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20861198-1.20854403) × R
    6.79499999998168e-05 × 6371000     		dl = 432.909449998833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20861198-1.20854403) × R
    6.79499999998168e-05 × 6371000     		dr = 432.909449998833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28436169--0.28416994) × cos(1.20861198) × R
    0.000191749999999991 × 0.354317714461359 × 6371000     		do = 432.848426956267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28436169--0.28416994) × cos(1.20854403) × R
    0.000191749999999991 × 0.354381255394043 × 6371000     		du = 432.926051053615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20861198)-sin(1.20854403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354317714461359-0.354381255394043)×R²
    abs(-0.28416994--0.28436169)×6.35409326836256e-05×R²
    0.000191749999999991×6.35409326836256e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.35409326836256e-05×40589641000000     		ar = 187400.97662123m²