Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14901 / 21267
↖ ↑ ↗
← S 47.182246°
W 16.292725°		 ← 830.31 m → S 47.182246°
W 16.281738°		 →
↑
830.27 m
↓
↑
830.27 m
↓
S 47.189713°
W 16.292725°		 ← 830.19 m →
689 332 m²		 S 47.189713°
W 16.281738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454757690429688 y=0.649032592773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454757690429688 × 215)
    floor (0.454757690429688 × 32768)
    floor (14901.5)     		tx = 14901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649032592773438 × 215)
    floor (0.649032592773438 × 32768)
    floor (21267.5)     		ty = 21267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14901 / 21267 ti = "15/14901/21267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14901/21267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14901 ÷ 215
    14901 ÷ 32768     		x = 0.454742431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21267 ÷ 215
    21267 ÷ 32768     		y = 0.649017333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454742431640625 × 2 - 1) × π
    -0.09051513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28436169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649017333984375 × 2 - 1) × π
    -0.29803466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.936303523378937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28436169} λ = -0.28436169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.936303523378937))-π/2
    2×atan(0.392074454068372)-π/2
    2×0.373655393450496-π/2
    0.747310786900992-1.57079632675     		φ = -0.82348554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28436169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.292725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82348554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.182246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14901 KachelY 21267 -0.28436169 -0.82348554 -16.292725 -47.182246
    Oben rechts KachelX + 1 14902 KachelY 21267 -0.28416994 -0.82348554 -16.281738 -47.182246
    Unten links KachelX 14901 KachelY + 1 21268 -0.28436169 -0.82361586 -16.292725 -47.189713
    Unten rechts KachelX + 1 14902 KachelY + 1 21268 -0.28416994 -0.82361586 -16.281738 -47.189713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82348554--0.82361586) × R
    0.000130320000000017 × 6371000     		dl = 830.268720000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82348554--0.82361586) × R
    0.000130320000000017 × 6371000     		dr = 830.268720000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28436169--0.28416994) × cos(-0.82348554) × R
    0.000191749999999991 × 0.679668630267615 × 6371000     		do = 830.309875728615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28436169--0.28416994) × cos(-0.82361586) × R
    0.000191749999999991 × 0.679573032262128 × 6371000     		du = 830.193089452891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82348554)-sin(-0.82361586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679668630267615-0.679573032262128)×R²
    abs(-0.28416994--0.28436169)×9.55980054867522e-05×R²
    0.000191749999999991×9.55980054867522e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.55980054867522e-05×40589641000000     		ar = 689331.836704148m²