Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14901 / 14663
↖ ↑ ↗
← S 80.441282°
E147.414551°		 ← 405.72 m → S 80.441282°
E147.436523°		 →
↑
405.64 m
↓
↑
405.64 m
↓
S 80.444930°
E147.414551°		 ← 405.56 m →
164 544 m²		 S 80.444930°
E147.436523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909515380859375 y=0.894989013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909515380859375 × 214)
    floor (0.909515380859375 × 16384)
    floor (14901.5)     		tx = 14901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894989013671875 × 214)
    floor (0.894989013671875 × 16384)
    floor (14663.5)     		ty = 14663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14901 / 14663 ti = "14/14901/14663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14901/14663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14901 ÷ 214
    14901 ÷ 16384     		x = 0.90948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14663 ÷ 214
    14663 ÷ 16384     		y = 0.89495849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90948486328125 × 2 - 1) × π
    0.8189697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57286928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89495849609375 × 2 - 1) × π
    -0.7899169921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.48159741953107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57286928} λ = 2.57286928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48159741953107))-π/2
    2×atan(0.0836095593170233)-π/2
    2×0.08341554658761-π/2
    0.16683109317522-1.57079632675     		φ = -1.40396523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57286928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.414551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40396523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.441282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14901 KachelY 14663 2.57286928 -1.40396523 147.414551 -80.441282
    Oben rechts KachelX + 1 14902 KachelY 14663 2.57325277 -1.40396523 147.436523 -80.441282
    Unten links KachelX 14901 KachelY + 1 14664 2.57286928 -1.40402890 147.414551 -80.444930
    Unten rechts KachelX + 1 14902 KachelY + 1 14664 2.57325277 -1.40402890 147.436523 -80.444930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40396523--1.40402890) × R
    6.36699999998491e-05 × 6371000     		dl = 405.641569999039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40396523--1.40402890) × R
    6.36699999998491e-05 × 6371000     		dr = 405.641569999039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57286928-2.57325277) × cos(-1.40396523) × R
    0.000383489999999931 × 0.166058282108014 × 6371000     		do = 405.71605084822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57286928-2.57325277) × cos(-1.40402890) × R
    0.000383489999999931 × 0.165995495769574 × 6371000     		du = 405.562650337531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40396523)-sin(-1.40402890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166058282108014-0.165995495769574)×R²
    abs(2.57325277-2.57286928)×6.2786338440729e-05×R²
    0.000383489999999931×6.2786338440729e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.2786338440729e-05×40589641000000     		ar = 164544.183083489m²