Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14901 / 14636
↖ ↑ ↗
← S 80.342262°
E147.414551°		 ← 409.88 m → S 80.342262°
E147.436523°		 →
↑
409.78 m
↓
↑
409.78 m
↓
S 80.345947°
E147.414551°		 ← 409.72 m →
167 930 m²		 S 80.345947°
E147.436523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909515380859375 y=0.893341064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909515380859375 × 214)
    floor (0.909515380859375 × 16384)
    floor (14901.5)     		tx = 14901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893341064453125 × 214)
    floor (0.893341064453125 × 16384)
    floor (14636.5)     		ty = 14636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14901 / 14636 ti = "14/14901/14636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14901/14636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14901 ÷ 214
    14901 ÷ 16384     		x = 0.90948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14636 ÷ 214
    14636 ÷ 16384     		y = 0.893310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90948486328125 × 2 - 1) × π
    0.8189697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57286928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893310546875 × 2 - 1) × π
    -0.78662109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47124304921313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57286928} λ = 2.57286928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47124304921313))-π/2
    2×atan(0.084479781181121)-π/2
    2×0.0842796646947549-π/2
    0.16855932938951-1.57079632675     		φ = -1.40223700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57286928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.414551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40223700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.342262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14901 KachelY 14636 2.57286928 -1.40223700 147.414551 -80.342262
    Oben rechts KachelX + 1 14902 KachelY 14636 2.57325277 -1.40223700 147.436523 -80.342262
    Unten links KachelX 14901 KachelY + 1 14637 2.57286928 -1.40230132 147.414551 -80.345947
    Unten rechts KachelX + 1 14902 KachelY + 1 14637 2.57325277 -1.40230132 147.436523 -80.345947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40223700--1.40230132) × R
    6.43200000001176e-05 × 6371000     		dl = 409.782720000749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40223700--1.40230132) × R
    6.43200000001176e-05 × 6371000     		dr = 409.782720000749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57286928-2.57325277) × cos(-1.40223700) × R
    0.000383489999999931 × 0.167762268420854 × 6371000     		do = 409.879255409707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57286928-2.57325277) × cos(-1.40230132) × R
    0.000383489999999931 × 0.167698859650331 × 6371000     		du = 409.724334163749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40223700)-sin(-1.40230132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167762268420854-0.167698859650331)×R²
    abs(2.57325277-2.57286928)×6.34087705231601e-05×R²
    0.000383489999999931×6.34087705231601e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.34087705231601e-05×40589641000000     		ar = 167929.694187558m²