Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14900 / 8789
↖ ↑ ↗
← N 63.758208°
W 16.303711°		 ← 540.16 m → N 63.758208°
W 16.292725°		 →
↑
540.20 m
↓
↑
540.20 m
↓
N 63.753350°
W 16.303711°		 ← 540.25 m →
291 818 m²		 N 63.753350°
W 16.292725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454727172851562 y=0.268234252929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454727172851562 × 215)
    floor (0.454727172851562 × 32768)
    floor (14900.5)     		tx = 14900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268234252929688 × 215)
    floor (0.268234252929688 × 32768)
    floor (8789.5)     		ty = 8789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14900 / 8789 ti = "15/14900/8789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14900/8789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14900 ÷ 215
    14900 ÷ 32768     		x = 0.4547119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8789 ÷ 215
    8789 ÷ 32768     		y = 0.268218994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4547119140625 × 2 - 1) × π
    -0.090576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28455344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268218994140625 × 2 - 1) × π
    0.46356201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.45632301045731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28455344} λ = -0.28455344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45632301045731))-π/2
    2×atan(4.29015563337254)-π/2
    2×1.34179348978476-π/2
    2.68358697956953-1.57079632675     		φ = 1.11279065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28455344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.303711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11279065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.758208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14900 KachelY 8789 -0.28455344 1.11279065 -16.303711 63.758208
    Oben rechts KachelX + 1 14901 KachelY 8789 -0.28436169 1.11279065 -16.292725 63.758208
    Unten links KachelX 14900 KachelY + 1 8790 -0.28455344 1.11270586 -16.303711 63.753350
    Unten rechts KachelX + 1 14901 KachelY + 1 8790 -0.28436169 1.11270586 -16.292725 63.753350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11279065-1.11270586) × R
    8.47900000000568e-05 × 6371000     		dl = 540.197090000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11279065-1.11270586) × R
    8.47900000000568e-05 × 6371000     		dr = 540.197090000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28455344--0.28436169) × cos(1.11279065) × R
    0.000191749999999991 × 0.442160206998636 × 6371000     		do = 540.160263657631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28455344--0.28436169) × cos(1.11270586) × R
    0.000191749999999991 × 0.44223625662028 × 6371000     		du = 540.25316886038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11279065)-sin(1.11270586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442160206998636-0.44223625662028)×R²
    abs(-0.28436169--0.28455344)×7.60496216443141e-05×R²
    0.000191749999999991×7.60496216443141e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.60496216443141e-05×40589641000000     		ar = 291818.096296529m²