Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1490 / 1717
↖ ↑ ↗
← N 27.916766°
W 49.042969°		 ← 8 635.69 m → N 27.916766°
W 48.955078°		 →
↑
8 638.76 m
↓
↑
8 638.76 m
↓
N 27.839076°
W 49.042969°		 ← 8 641.89 m →
74 628 416 m²		 N 27.839076°
W 48.955078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3638916015625 y=0.4193115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3638916015625 × 212)
    floor (0.3638916015625 × 4096)
    floor (1490.5)     		tx = 1490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4193115234375 × 212)
    floor (0.4193115234375 × 4096)
    floor (1717.5)     		ty = 1717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1490 / 1717 ti = "12/1490/1717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1490/1717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1490 ÷ 212
    1490 ÷ 4096     		x = 0.36376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1717 ÷ 212
    1717 ÷ 4096     		y = 0.419189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36376953125 × 2 - 1) × π
    -0.2724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85596128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419189453125 × 2 - 1) × π
    0.16162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.507747640775635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85596128} λ = -0.85596128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.507747640775635))-π/2
    2×atan(1.66154458190484)-π/2
    2×1.02901791059139-π/2
    2.05803582118279-1.57079632675     		φ = 0.48723949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85596128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.042969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48723949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.916766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1490 KachelY 1717 -0.85596128 0.48723949 -49.042969 27.916766
    Oben rechts KachelX + 1 1491 KachelY 1717 -0.85442730 0.48723949 -48.955078 27.916766
    Unten links KachelX 1490 KachelY + 1 1718 -0.85596128 0.48588354 -49.042969 27.839076
    Unten rechts KachelX + 1 1491 KachelY + 1 1718 -0.85442730 0.48588354 -48.955078 27.839076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48723949-0.48588354) × R
    0.00135594999999999 × 6371000     		dl = 8638.75744999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48723949-0.48588354) × R
    0.00135594999999999 × 6371000     		dr = 8638.75744999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85596128--0.85442730) × cos(0.48723949) × R
    0.00153398000000005 × 0.883628662561301 × 6371000     		do = 8635.6910609152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85596128--0.85442730) × cos(0.48588354) × R
    0.00153398000000005 × 0.884262690120614 × 6371000     		du = 8641.88740374371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48723949)-sin(0.48588354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883628662561301-0.884262690120614)×R²
    abs(-0.85442730--0.85596128)×0.000634027559312189×R²
    0.00153398000000005×0.000634027559312189×6371000²
    0.00153398000000005×0.000634027559312189×40589641000000     		ar = 74628416.2740859m²