Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 149 / 115
↖ ↑ ↗
← N 17.978733°
E 29.531250°		 ← 148.733 km → N 17.978733°
E 30.937500°		 →
↑
149.284 km
↓
↑
149.284 km
↓
N 16.636192°
E 29.531250°		 ← 149.823 km →
22 285.8 km²		 N 16.636192°
E 30.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.583984375 y=0.451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.583984375 × 28)
    floor (0.583984375 × 256)
    floor (149.5)     		tx = 149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451171875 × 28)
    floor (0.451171875 × 256)
    floor (115.5)     		ty = 115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 149 / 115 ti = "8/149/115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/149/115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 149 ÷ 28
    149 ÷ 256     		x = 0.58203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115 ÷ 28
    115 ÷ 256     		y = 0.44921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58203125 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44921875 × 2 - 1) × π
    0.1015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.319068003871094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51541754} λ = 0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319068003871094))-π/2
    2×atan(1.37584488450297)-π/2
    2×0.942292207320475-π/2
    1.88458441464095-1.57079632675     		φ = 0.31378809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31378809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.978733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 149 KachelY 115 0.51541754 0.31378809 29.531250 17.978733
    Oben rechts KachelX + 1 150 KachelY 115 0.53996124 0.31378809 30.937500 17.978733
    Unten links KachelX 149 KachelY + 1 116 0.51541754 0.29035632 29.531250 16.636192
    Unten rechts KachelX + 1 150 KachelY + 1 116 0.53996124 0.29035632 30.937500 16.636192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31378809-0.29035632) × R
    0.02343177 × 6371000     		dl = 149283.80667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31378809-0.29035632) × R
    0.02343177 × 6371000     		dr = 149283.80667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51541754-0.53996124) × cos(0.31378809) × R
    0.0245437000000001 × 0.951171150272265 × 6371000     		do = 148732.647388532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51541754-0.53996124) × cos(0.29035632) × R
    0.0245437000000001 × 0.958141924186794 × 6371000     		du = 149822.652755451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31378809)-sin(0.29035632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951171150272265-0.958141924186794)×R²
    abs(0.53996124-0.51541754)×0.0069707739145296×R²
    0.0245437000000001×0.0069707739145296×6371000²
    0.0245437000000001×0.0069707739145296×40589641000000     		ar = 22285755525.0011m²