Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14898 / 14906
↖ ↑ ↗
← S 81.288376°
E147.348633°		 ← 370.06 m → S 81.288376°
E147.370606°		 →
↑
369.96 m
↓
↑
369.96 m
↓
S 81.291703°
E147.348633°		 ← 369.92 m →
136 884 m²		 S 81.291703°
E147.370606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909332275390625 y=0.909820556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909332275390625 × 214)
    floor (0.909332275390625 × 16384)
    floor (14898.5)     		tx = 14898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909820556640625 × 214)
    floor (0.909820556640625 × 16384)
    floor (14906.5)     		ty = 14906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14898 / 14906 ti = "14/14898/14906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14898/14906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14898 ÷ 214
    14898 ÷ 16384     		x = 0.9093017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14906 ÷ 214
    14906 ÷ 16384     		y = 0.9097900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9093017578125 × 2 - 1) × π
    0.818603515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57171879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9097900390625 × 2 - 1) × π
    -0.819580078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57478675239246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57171879} λ = 2.57171879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57478675239246))-π/2
    2×atan(0.0761700641507807)-π/2
    2×0.076023265015831-π/2
    0.152046530031662-1.57079632675     		φ = -1.41874980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57171879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.348633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41874980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.288376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14898 KachelY 14906 2.57171879 -1.41874980 147.348633 -81.288376
    Oben rechts KachelX + 1 14899 KachelY 14906 2.57210229 -1.41874980 147.370606 -81.288376
    Unten links KachelX 14898 KachelY + 1 14907 2.57171879 -1.41880787 147.348633 -81.291703
    Unten rechts KachelX + 1 14899 KachelY + 1 14907 2.57210229 -1.41880787 147.370606 -81.291703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41874980--1.41880787) × R
    5.80699999999101e-05 × 6371000     		dl = 369.963969999427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41874980--1.41880787) × R
    5.80699999999101e-05 × 6371000     		dr = 369.963969999427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57171879-2.57210229) × cos(-1.41874980) × R
    0.000383500000000314 × 0.151461364622429 × 6371000     		do = 370.062295762945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57171879-2.57210229) × cos(-1.41880787) × R
    0.000383500000000314 × 0.151403964310319 × 6371000     		du = 369.922050814474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41874980)-sin(-1.41880787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151461364622429-0.151403964310319)×R²
    abs(2.57210229-2.57171879)×5.74003121099065e-05×R²
    0.000383500000000314×5.74003121099065e-05×6371000²
    0.000383500000000314×5.74003121099065e-05×40589641000000     		ar = 136883.773338178m²