Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14896 / 14639
↖ ↑ ↗
← S 80.353314°
E147.304687°		 ← 409.43 m → S 80.353314°
E147.326660°		 →
↑
409.34 m
↓
↑
409.34 m
↓
S 80.356996°
E147.304687°		 ← 409.27 m →
167 561 m²		 S 80.356996°
E147.326660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909210205078125 y=0.893524169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909210205078125 × 214)
    floor (0.909210205078125 × 16384)
    floor (14896.5)     		tx = 14896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893524169921875 × 214)
    floor (0.893524169921875 × 16384)
    floor (14639.5)     		ty = 14639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14896 / 14639 ti = "14/14896/14639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14896/14639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14896 ÷ 214
    14896 ÷ 16384     		x = 0.9091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14639 ÷ 214
    14639 ÷ 16384     		y = 0.89349365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9091796875 × 2 - 1) × π
    0.818359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57095180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89349365234375 × 2 - 1) × π
    -0.7869873046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.47239353480402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57095180} λ = 2.57095180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47239353480402))-π/2
    2×atan(0.0843826442981577)-π/2
    2×0.0841832153634317-π/2
    0.168366430726863-1.57079632675     		φ = -1.40242990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57095180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.304687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40242990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.353314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14896 KachelY 14639 2.57095180 -1.40242990 147.304687 -80.353314
    Oben rechts KachelX + 1 14897 KachelY 14639 2.57133530 -1.40242990 147.326660 -80.353314
    Unten links KachelX 14896 KachelY + 1 14640 2.57095180 -1.40249415 147.304687 -80.356996
    Unten rechts KachelX + 1 14897 KachelY + 1 14640 2.57133530 -1.40249415 147.326660 -80.356996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40242990--1.40249415) × R
    6.4250000000099e-05 × 6371000     		dl = 409.33675000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40242990--1.40249415) × R
    6.4250000000099e-05 × 6371000     		dr = 409.33675000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57095180-2.57133530) × cos(-1.40242990) × R
    0.00038349999999987 × 0.167572099179795 × 6371000     		do = 409.425307125722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57095180-2.57133530) × cos(-1.40249415) × R
    0.00038349999999987 × 0.167508757340305 × 6371000     		du = 409.270545371146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40242990)-sin(-1.40249415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167572099179795-0.167508757340305)×R²
    abs(2.57133530-2.57095180)×6.33418394899443e-05×R²
    0.00038349999999987×6.33418394899443e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.33418394899443e-05×40589641000000     		ar = 167561.149806515m²