Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14895 / 7732
↖ ↑ ↗
← N 68.447662°
W 16.358642°		 ← 448.75 m → N 68.447662°
W 16.347656°		 →
↑
448.84 m
↓
↑
448.84 m
↓
N 68.443626°
W 16.358642°		 ← 448.83 m →
201 432 m²		 N 68.443626°
W 16.347656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454574584960938 y=0.235977172851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454574584960938 × 215)
    floor (0.454574584960938 × 32768)
    floor (14895.5)     		tx = 14895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.235977172851562 × 215)
    floor (0.235977172851562 × 32768)
    floor (7732.5)     		ty = 7732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14895 / 7732 ti = "15/14895/7732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14895/7732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14895 ÷ 215
    14895 ÷ 32768     		x = 0.454559326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7732 ÷ 215
    7732 ÷ 32768     		y = 0.2359619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454559326171875 × 2 - 1) × π
    -0.09088134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28551217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2359619140625 × 2 - 1) × π
    0.528076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.6590002220509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28551217} λ = -0.28551217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6590002220509))-π/2
    2×atan(5.25405532904914)-π/2
    2×1.38271669662125-π/2
    2.76543339324249-1.57079632675     		φ = 1.19463707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28551217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.358642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19463707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.447662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14895 KachelY 7732 -0.28551217 1.19463707 -16.358642 68.447662
    Oben rechts KachelX + 1 14896 KachelY 7732 -0.28532043 1.19463707 -16.347656 68.447662
    Unten links KachelX 14895 KachelY + 1 7733 -0.28551217 1.19456662 -16.358642 68.443626
    Unten rechts KachelX + 1 14896 KachelY + 1 7733 -0.28532043 1.19456662 -16.347656 68.443626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19463707-1.19456662) × R
    7.04499999999442e-05 × 6371000     		dl = 448.836949999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19463707-1.19456662) × R
    7.04499999999442e-05 × 6371000     		dr = 448.836949999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28551217--0.28532043) × cos(1.19463707) × R
    0.000191739999999996 × 0.367350980015386 × 6371000     		do = 448.746971781814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28551217--0.28532043) × cos(1.19456662) × R
    0.000191739999999996 × 0.367416503408289 × 6371000     		du = 448.827013555882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19463707)-sin(1.19456662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367350980015386-0.367416503408289)×R²
    abs(-0.28532043--0.28551217)×6.55233929031107e-05×R²
    0.000191739999999996×6.55233929031107e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.55233929031107e-05×40589641000000     		ar = 201432.185071584m²