Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14895 / 14645
↖ ↑ ↗
← S 80.375381°
E147.282715°		 ← 408.49 m → S 80.375381°
E147.304687°		 →
↑
408.38 m
↓
↑
408.38 m
↓
S 80.379054°
E147.282715°		 ← 408.33 m →
166 787 m²		 S 80.379054°
E147.304687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909149169921875 y=0.893890380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909149169921875 × 214)
    floor (0.909149169921875 × 16384)
    floor (14895.5)     		tx = 14895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893890380859375 × 214)
    floor (0.893890380859375 × 16384)
    floor (14645.5)     		ty = 14645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14895 / 14645 ti = "14/14895/14645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14895/14645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14895 ÷ 214
    14895 ÷ 16384     		x = 0.90911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14645 ÷ 214
    14645 ÷ 16384     		y = 0.89385986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90911865234375 × 2 - 1) × π
    0.8182373046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.57056831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.7877197265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.47469450598578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57056831} λ = 2.57056831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47469450598578))-π/2
    2×atan(0.0841887054747754)-π/2
    2×0.0839906445779372-π/2
    0.167981289155874-1.57079632675     		φ = -1.40281504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57056831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.282715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40281504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.375381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14895 KachelY 14645 2.57056831 -1.40281504 147.282715 -80.375381
    Oben rechts KachelX + 1 14896 KachelY 14645 2.57095180 -1.40281504 147.304687 -80.375381
    Unten links KachelX 14895 KachelY + 1 14646 2.57056831 -1.40287914 147.282715 -80.379054
    Unten rechts KachelX + 1 14896 KachelY + 1 14646 2.57095180 -1.40287914 147.304687 -80.379054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40281504--1.40287914) × R
    6.41000000001224e-05 × 6371000     		dl = 408.38110000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40281504--1.40287914) × R
    6.41000000001224e-05 × 6371000     		dr = 408.38110000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57056831-2.57095180) × cos(-1.40281504) × R
    0.000383489999999931 × 0.167192392708541 × 6371000     		do = 408.486926640923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57056831-2.57095180) × cos(-1.40287914) × R
    0.000383489999999931 × 0.167129194618173 × 6371000     		du = 408.332520131835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40281504)-sin(-1.40287914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167192392708541-0.167129194618173)×R²
    abs(2.57095180-2.57056831)×6.31980903685048e-05×R²
    0.000383489999999931×6.31980903685048e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.31980903685048e-05×40589641000000     		ar = 166786.812145244m²