Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14894 / 7733
↖ ↑ ↗
← N 68.443626°
W 16.369629°		 ← 448.85 m → N 68.443626°
W 16.358642°		 →
↑
448.90 m
↓
↑
448.90 m
↓
N 68.439589°
W 16.369629°		 ← 448.93 m →
201 507 m²		 N 68.439589°
W 16.358642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454544067382812 y=0.236007690429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454544067382812 × 215)
    floor (0.454544067382812 × 32768)
    floor (14894.5)     		tx = 14894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.236007690429688 × 215)
    floor (0.236007690429688 × 32768)
    floor (7733.5)     		ty = 7733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14894 / 7733 ti = "15/14894/7733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14894/7733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14894 ÷ 215
    14894 ÷ 32768     		x = 0.45452880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7733 ÷ 215
    7733 ÷ 32768     		y = 0.235992431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45452880859375 × 2 - 1) × π
    -0.0909423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28570392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.235992431640625 × 2 - 1) × π
    0.52801513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.65880847445242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28570392} λ = -0.28570392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65880847445242))-π/2
    2×atan(5.25304797313964)-π/2
    2×1.38268147414614-π/2
    2.76536294829227-1.57079632675     		φ = 1.19456662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28570392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.369629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19456662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.443626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14894 KachelY 7733 -0.28570392 1.19456662 -16.369629 68.443626
    Oben rechts KachelX + 1 14895 KachelY 7733 -0.28551217 1.19456662 -16.358642 68.443626
    Unten links KachelX 14894 KachelY + 1 7734 -0.28570392 1.19449616 -16.369629 68.439589
    Unten rechts KachelX + 1 14895 KachelY + 1 7734 -0.28551217 1.19449616 -16.358642 68.439589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19456662-1.19449616) × R
    7.04600000001054e-05 × 6371000     		dl = 448.900660000672m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19456662-1.19449616) × R
    7.04600000001054e-05 × 6371000     		dr = 448.900660000672m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28570392--0.28551217) × cos(1.19456662) × R
    0.000191749999999991 × 0.367416503408289 × 6371000     		do = 448.850421661302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28570392--0.28551217) × cos(1.19449616) × R
    0.000191749999999991 × 0.367482034277936 × 6371000     		du = 448.930476743749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19456662)-sin(1.19449616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367416503408289-0.367482034277936)×R²
    abs(-0.28551217--0.28570392)×6.55308696469459e-05×R²
    0.000191749999999991×6.55308696469459e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.55308696469459e-05×40589641000000     		ar = 201507.218998928m²