Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14894 / 21321
↖ ↑ ↗
← S 47.583937°
W 16.369629°		 ← 824.01 m → S 47.583937°
W 16.358642°		 →
↑
823.90 m
↓
↑
823.90 m
↓
S 47.591346°
W 16.369629°		 ← 823.89 m →
678 850 m²		 S 47.591346°
W 16.358642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454544067382812 y=0.650680541992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454544067382812 × 215)
    floor (0.454544067382812 × 32768)
    floor (14894.5)     		tx = 14894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650680541992188 × 215)
    floor (0.650680541992188 × 32768)
    floor (21321.5)     		ty = 21321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14894 / 21321 ti = "15/14894/21321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14894/21321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14894 ÷ 215
    14894 ÷ 32768     		x = 0.45452880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21321 ÷ 215
    21321 ÷ 32768     		y = 0.650665283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45452880859375 × 2 - 1) × π
    -0.0909423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28570392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650665283203125 × 2 - 1) × π
    -0.30133056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.946657893696869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28570392} λ = -0.28570392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946657893696869))-π/2
    2×atan(0.388035715360551)-π/2
    2×0.370149980868831-π/2
    0.740299961737661-1.57079632675     		φ = -0.83049637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28570392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.369629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83049637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.583937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14894 KachelY 21321 -0.28570392 -0.83049637 -16.369629 -47.583937
    Oben rechts KachelX + 1 14895 KachelY 21321 -0.28551217 -0.83049637 -16.358642 -47.583937
    Unten links KachelX 14894 KachelY + 1 21322 -0.28570392 -0.83062569 -16.369629 -47.591346
    Unten rechts KachelX + 1 14895 KachelY + 1 21322 -0.28551217 -0.83062569 -16.358642 -47.591346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83049637--0.83062569) × R
    0.000129319999999988 × 6371000     		dl = 823.897719999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83049637--0.83062569) × R
    0.000129319999999988 × 6371000     		dr = 823.897719999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28570392--0.28551217) × cos(-0.83049637) × R
    0.000191749999999991 × 0.674509389952615 × 6371000     		do = 824.00714525963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28570392--0.28551217) × cos(-0.83062569) × R
    0.000191749999999991 × 0.674413911718935 × 6371000     		du = 823.890505301845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83049637)-sin(-0.83062569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674509389952615-0.674413911718935)×R²
    abs(-0.28551217--0.28570392)×9.54782336802795e-05×R²
    0.000191749999999991×9.54782336802795e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.54782336802795e-05×40589641000000     		ar = 678849.559491521m²