Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14894 / 14638
↖ ↑ ↗
← S 80.349631°
E147.260742°		 ← 409.58 m → S 80.349631°
E147.282715°		 →
↑
409.53 m
↓
↑
409.53 m
↓
S 80.353314°
E147.260742°		 ← 409.43 m →
167 703 m²		 S 80.353314°
E147.282715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909088134765625 y=0.893463134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909088134765625 × 214)
    floor (0.909088134765625 × 16384)
    floor (14894.5)     		tx = 14894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893463134765625 × 214)
    floor (0.893463134765625 × 16384)
    floor (14638.5)     		ty = 14638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14894 / 14638 ti = "14/14894/14638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14894/14638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14894 ÷ 214
    14894 ÷ 16384     		x = 0.9090576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14638 ÷ 214
    14638 ÷ 16384     		y = 0.8934326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9090576171875 × 2 - 1) × π
    0.818115234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57018481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8934326171875 × 2 - 1) × π
    -0.786865234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47201003960706
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57018481} λ = 2.57018481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47201003960706))-π/2
    2×atan(0.0844150108427634)-π/2
    2×0.0842153529865359-π/2
    0.168430705973072-1.57079632675     		φ = -1.40236562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57018481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.260742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40236562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.349631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14894 KachelY 14638 2.57018481 -1.40236562 147.260742 -80.349631
    Oben rechts KachelX + 1 14895 KachelY 14638 2.57056831 -1.40236562 147.282715 -80.349631
    Unten links KachelX 14894 KachelY + 1 14639 2.57018481 -1.40242990 147.260742 -80.353314
    Unten rechts KachelX + 1 14895 KachelY + 1 14639 2.57056831 -1.40242990 147.282715 -80.353314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40236562--1.40242990) × R
    6.42799999999166e-05 × 6371000     		dl = 409.527879999469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40236562--1.40242990) × R
    6.42799999999166e-05 × 6371000     		dr = 409.527879999469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57018481-2.57056831) × cos(-1.40236562) × R
    0.00038349999999987 × 0.167635469903008 × 6371000     		do = 409.580139451279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57018481-2.57056831) × cos(-1.40242990) × R
    0.00038349999999987 × 0.167572099179795 × 6371000     		du = 409.425307125722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40236562)-sin(-1.40242990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167635469903008-0.167572099179795)×R²
    abs(2.57056831-2.57018481)×6.33707232132463e-05×R²
    0.00038349999999987×6.33707232132463e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.33707232132463e-05×40589641000000     		ar = 167702.782181433m²