Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14893 / 21459
↖ ↑ ↗
← S 48.596592°
W 16.380615°		 ← 807.94 m → S 48.596592°
W 16.369629°		 →
↑
807.84 m
↓
↑
807.84 m
↓
S 48.603857°
W 16.380615°		 ← 807.82 m →
652 641 m²		 S 48.603857°
W 16.369629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454513549804688 y=0.654891967773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454513549804688 × 215)
    floor (0.454513549804688 × 32768)
    floor (14893.5)     		tx = 14893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654891967773438 × 215)
    floor (0.654891967773438 × 32768)
    floor (21459.5)     		ty = 21459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14893 / 21459 ti = "15/14893/21459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14893/21459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14893 ÷ 215
    14893 ÷ 32768     		x = 0.454498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21459 ÷ 215
    21459 ÷ 32768     		y = 0.654876708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454498291015625 × 2 - 1) × π
    -0.09100341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28589567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654876708984375 × 2 - 1) × π
    -0.30975341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.97311906228714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28589567} λ = -0.28589567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.97311906228714))-π/2
    2×atan(0.377902496543964)-π/2
    2×0.361312893388104-π/2
    0.722625786776208-1.57079632675     		φ = -0.84817054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28589567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.380615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84817054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.596592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14893 KachelY 21459 -0.28589567 -0.84817054 -16.380615 -48.596592
    Oben rechts KachelX + 1 14894 KachelY 21459 -0.28570392 -0.84817054 -16.369629 -48.596592
    Unten links KachelX 14893 KachelY + 1 21460 -0.28589567 -0.84829734 -16.380615 -48.603857
    Unten rechts KachelX + 1 14894 KachelY + 1 21460 -0.28570392 -0.84829734 -16.369629 -48.603857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84817054--0.84829734) × R
    0.000126799999999982 × 6371000     		dl = 807.842799999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84817054--0.84829734) × R
    0.000126799999999982 × 6371000     		dr = 807.842799999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28589567--0.28570392) × cos(-0.84817054) × R
    0.000191749999999991 × 0.661356478111909 × 6371000     		do = 807.939031903234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28589567--0.28570392) × cos(-0.84829734) × R
    0.000191749999999991 × 0.661261363699339 × 6371000     		du = 807.822836403598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84817054)-sin(-0.84829734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661356478111909-0.661261363699339)×R²
    abs(-0.28570392--0.28589567)×9.51144125698189e-05×R²
    0.000191749999999991×9.51144125698189e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.51144125698189e-05×40589641000000     		ar = 652640.796786709m²