Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14892 / 10732
↖ ↑ ↗
← N 76.211205°
W 98.195801°		 ← 145.59 m → N 76.211205°
W 98.190308°		 →
↑
145.64 m
↓
↑
145.64 m
↓
N 76.209896°
W 98.195801°		 ← 145.61 m →
21 205 m²		 N 76.209896°
W 98.190308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227241516113281 y=0.163764953613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227241516113281 × 216)
    floor (0.227241516113281 × 65536)
    floor (14892.5)     		tx = 14892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163764953613281 × 216)
    floor (0.163764953613281 × 65536)
    floor (10732.5)     		ty = 10732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14892 / 10732 ti = "16/14892/10732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14892/10732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14892 ÷ 216
    14892 ÷ 65536     		x = 0.22723388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10732 ÷ 216
    10732 ÷ 65536     		y = 0.16375732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22723388671875 × 2 - 1) × π
    -0.5455322265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.71384004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16375732421875 × 2 - 1) × π
    0.6724853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11267504005511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71384004} λ = -1.71384004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11267504005511))-π/2
    2×atan(8.27033519832431)-π/2
    2×1.45046639098652-π/2
    2.90093278197305-1.57079632675     		φ = 1.33013646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71384004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.195801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33013646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.211205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14892 KachelY 10732 -1.71384004 1.33013646 -98.195801 76.211205
    Oben rechts KachelX + 1 14893 KachelY 10732 -1.71374416 1.33013646 -98.190308 76.211205
    Unten links KachelX 14892 KachelY + 1 10733 -1.71384004 1.33011360 -98.195801 76.209896
    Unten rechts KachelX + 1 14893 KachelY + 1 10733 -1.71374416 1.33011360 -98.190308 76.209896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33013646-1.33011360) × R
    2.28600000000689e-05 × 6371000     		dl = 145.641060000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33013646-1.33011360) × R
    2.28600000000689e-05 × 6371000     		dr = 145.641060000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71384004--1.71374416) × cos(1.33013646) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.238343528306112 × 6371000     		do = 145.592497014115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71384004--1.71374416) × cos(1.33011360) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.238365729439467 × 6371000     		du = 145.606058609282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33013646)-sin(1.33011360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238343528306112-0.238365729439467)×R²
    abs(-1.71374416--1.71384004)×2.22011333541883e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.22011333541883e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.22011333541883e-05×40589641000000     		ar = 21205.2331567648m²