Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14891 / 21473
↖ ↑ ↗
← S 48.698212°
W 16.402588°		 ← 806.27 m → S 48.698212°
W 16.391602°		 →
↑
806.25 m
↓
↑
806.25 m
↓
S 48.705463°
W 16.402588°		 ← 806.15 m →
650 009 m²		 S 48.705463°
W 16.391602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454452514648438 y=0.655319213867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454452514648438 × 215)
    floor (0.454452514648438 × 32768)
    floor (14891.5)     		tx = 14891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655319213867188 × 215)
    floor (0.655319213867188 × 32768)
    floor (21473.5)     		ty = 21473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14891 / 21473 ti = "15/14891/21473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14891/21473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14891 ÷ 215
    14891 ÷ 32768     		x = 0.454437255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21473 ÷ 215
    21473 ÷ 32768     		y = 0.655303955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454437255859375 × 2 - 1) × π
    -0.09112548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28627916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655303955078125 × 2 - 1) × π
    -0.31060791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.975803528665863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28627916} λ = -0.28627916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975803528665863))-π/2
    2×atan(0.376889390430606)-π/2
    2×0.360426092344183-π/2
    0.720852184688367-1.57079632675     		φ = -0.84994414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28627916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.402588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84994414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.698212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14891 KachelY 21473 -0.28627916 -0.84994414 -16.402588 -48.698212
    Oben rechts KachelX + 1 14892 KachelY 21473 -0.28608742 -0.84994414 -16.391602 -48.698212
    Unten links KachelX 14891 KachelY + 1 21474 -0.28627916 -0.85007069 -16.402588 -48.705463
    Unten rechts KachelX + 1 14892 KachelY + 1 21474 -0.28608742 -0.85007069 -16.391602 -48.705463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84994414--0.85007069) × R
    0.000126550000000059 × 6371000     		dl = 806.250050000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84994414--0.85007069) × R
    0.000126550000000059 × 6371000     		dr = 806.250050000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28627916--0.28608742) × cos(-0.84994414) × R
    0.000191739999999996 × 0.660025111378706 × 6371000     		do = 806.270531845985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28627916--0.28608742) × cos(-0.85007069) × R
    0.000191739999999996 × 0.659930036224194 × 6371000     		du = 806.154390362772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84994414)-sin(-0.85007069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660025111378706-0.659930036224194)×R²
    abs(-0.28608742--0.28627916)×9.50751545117923e-05×R²
    0.000191739999999996×9.50751545117923e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.50751545117923e-05×40589641000000     		ar = 650008.8379434m²