Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1489 / 1718
↖ ↑ ↗
← N 27.839076°
W 49.130859°		 ← 8 641.89 m → N 27.839076°
W 49.042969°		 →
↑
8 645 m
↓
↑
8 645 m
↓
N 27.761330°
W 49.130859°		 ← 8 648.07 m →
74 735 871 m²		 N 27.761330°
W 49.042969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3636474609375 y=0.4195556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3636474609375 × 212)
    floor (0.3636474609375 × 4096)
    floor (1489.5)     		tx = 1489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4195556640625 × 212)
    floor (0.4195556640625 × 4096)
    floor (1718.5)     		ty = 1718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1489 / 1718 ti = "12/1489/1718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1489/1718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1489 ÷ 212
    1489 ÷ 4096     		x = 0.363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1718 ÷ 212
    1718 ÷ 4096     		y = 0.41943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.363525390625 × 2 - 1) × π
    -0.27294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.85749526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41943359375 × 2 - 1) × π
    0.1611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.506213659987793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85749526} λ = -0.85749526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506213659987793))-π/2
    2×atan(1.65899775832668)-π/2
    2×1.02833993267461-π/2
    2.05667986534922-1.57079632675     		φ = 0.48588354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85749526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.130859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48588354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.839076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1489 KachelY 1718 -0.85749526 0.48588354 -49.130859 27.839076
    Oben rechts KachelX + 1 1490 KachelY 1718 -0.85596128 0.48588354 -49.042969 27.839076
    Unten links KachelX 1489 KachelY + 1 1719 -0.85749526 0.48452661 -49.130859 27.761330
    Unten rechts KachelX + 1 1490 KachelY + 1 1719 -0.85596128 0.48452661 -49.042969 27.761330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48588354-0.48452661) × R
    0.00135692999999998 × 6371000     		dl = 8645.00102999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48588354-0.48452661) × R
    0.00135692999999998 × 6371000     		dr = 8645.00102999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85749526--0.85596128) × cos(0.48588354) × R
    0.00153397999999993 × 0.884262690120614 × 6371000     		do = 8641.88740374309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85749526--0.85596128) × cos(0.48452661) × R
    0.00153397999999993 × 0.884895548348582 × 6371000     		du = 8648.07231871207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48588354)-sin(0.48452661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884262690120614-0.884895548348582)×R²
    abs(-0.85596128--0.85749526)×0.00063285822796888×R²
    0.00153397999999993×0.00063285822796888×6371000²
    0.00153397999999993×0.00063285822796888×40589641000000     		ar = 74735871.2719831m²