Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14889 / 9633
↖ ↑ ↗
← N 59.349996°
W 16.424561°		 ← 622.78 m → N 59.349996°
W 16.413574°		 →
↑
622.83 m
↓
↑
622.83 m
↓
N 59.344395°
W 16.424561°		 ← 622.89 m →
387 919 m²		 N 59.344395°
W 16.413574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454391479492188 y=0.293991088867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454391479492188 × 215)
    floor (0.454391479492188 × 32768)
    floor (14889.5)     		tx = 14889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293991088867188 × 215)
    floor (0.293991088867188 × 32768)
    floor (9633.5)     		ty = 9633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14889 / 9633 ti = "15/14889/9633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14889/9633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14889 ÷ 215
    14889 ÷ 32768     		x = 0.454376220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9633 ÷ 215
    9633 ÷ 32768     		y = 0.293975830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454376220703125 × 2 - 1) × π
    -0.09124755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28666266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293975830078125 × 2 - 1) × π
    0.41204833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29448803734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28666266} λ = -0.28666266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29448803734))-π/2
    2×atan(3.64912727892259)-π/2
    2×1.30332458248453-π/2
    2.60664916496905-1.57079632675     		φ = 1.03585284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28666266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.424561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03585284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.349996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14889 KachelY 9633 -0.28666266 1.03585284 -16.424561 59.349996
    Oben rechts KachelX + 1 14890 KachelY 9633 -0.28647091 1.03585284 -16.413574 59.349996
    Unten links KachelX 14889 KachelY + 1 9634 -0.28666266 1.03575508 -16.424561 59.344395
    Unten rechts KachelX + 1 14890 KachelY + 1 9634 -0.28647091 1.03575508 -16.413574 59.344395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03585284-1.03575508) × R
    9.77600000000578e-05 × 6371000     		dl = 622.828960000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03585284-1.03575508) × R
    9.77600000000578e-05 × 6371000     		dr = 622.828960000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28666266--0.28647091) × cos(1.03585284) × R
    0.000191749999999991 × 0.509792422077081 × 6371000     		do = 622.782432161898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28666266--0.28647091) × cos(1.03575508) × R
    0.000191749999999991 × 0.509876522318698 × 6371000     		du = 622.885172317991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03585284)-sin(1.03575508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509792422077081-0.509876522318698)×R²
    abs(-0.28647091--0.28666266)×8.4100241616758e-05×R²
    0.000191749999999991×8.4100241616758e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.4100241616758e-05×40589641000000     		ar = 387918.929610916m²