Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14888 / 11384
↖ ↑ ↗
← N 48.048710°
W 16.435547°		 ← 816.66 m → N 48.048710°
W 16.424561°		 →
↑
816.70 m
↓
↑
816.70 m
↓
N 48.041365°
W 16.435547°		 ← 816.78 m →
667 016 m²		 N 48.041365°
W 16.424561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454360961914062 y=0.347427368164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454360961914062 × 215)
    floor (0.454360961914062 × 32768)
    floor (14888.5)     		tx = 14888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347427368164062 × 215)
    floor (0.347427368164062 × 32768)
    floor (11384.5)     		ty = 11384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14888 / 11384 ti = "15/14888/11384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14888/11384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14888 ÷ 215
    14888 ÷ 32768     		x = 0.454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11384 ÷ 215
    11384 ÷ 32768     		y = 0.347412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.09130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28685441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347412109375 × 2 - 1) × π
    0.30517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.958737992401123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28685441} λ = -0.28685441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.958737992401123))-π/2
    2×atan(2.60840257152948)-π/2
    2×1.20470225830785-π/2
    2.40940451661569-1.57079632675     		φ = 0.83860819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28685441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.435547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83860819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.048710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14888 KachelY 11384 -0.28685441 0.83860819 -16.435547 48.048710
    Oben rechts KachelX + 1 14889 KachelY 11384 -0.28666266 0.83860819 -16.424561 48.048710
    Unten links KachelX 14888 KachelY + 1 11385 -0.28685441 0.83848000 -16.435547 48.041365
    Unten rechts KachelX + 1 14889 KachelY + 1 11385 -0.28666266 0.83848000 -16.424561 48.041365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83860819-0.83848000) × R
    0.000128189999999972 × 6371000     		dl = 816.698489999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83860819-0.83848000) × R
    0.000128189999999972 × 6371000     		dr = 816.698489999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28685441--0.28666266) × cos(0.83860819) × R
    0.000191749999999991 × 0.668498580764785 × 6371000     		do = 816.664104831516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28685441--0.28666266) × cos(0.83848000) × R
    0.000191749999999991 × 0.668593911894915 × 6371000     		du = 816.78056508183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83860819)-sin(0.83848000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668498580764785-0.668593911894915)×R²
    abs(-0.28666266--0.28685441)×9.53311301304938e-05×R²
    0.000191749999999991×9.53311301304938e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.53311301304938e-05×40589641000000     		ar = 667015.898622m²